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Vidéo de question : Déterminer le taux d’accroissement du rayon d’un cercle en expansion connaissant le taux d’accroissement de son aire et en utilisant des taux liés Mathématiques

L’aire d’un disque croît de 1/5 cm² / s. Quel est le taux de croissance de son rayon lorsque celui-ci mesure 6 cm ? Utilisez 𝜋 = 22/7 pour simplifier votre réponse.

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Transcription de vidéo

L’aire d’un disque croît d’un cinquième de centimètre carré par seconde. Quel est le taux de croissance de son rayon lorsque celui-ci mesure six centimètres ? Utilisez pi égale 22 septièmes pour simplifier votre réponse.

Concentrons-nous sur la première phrase pour le moment. L’aire d’un disque croît d’un cinquième de centimètre carré par seconde. C’est ce que nous avons dans l’énoncé. Cette phrase définit la situation sur laquelle repose la question. Voyons si nous pouvons nous représenter cette situation. Personnellement, j’imagine un point noir qui grossit lentement. Alors comment passer de cette phrase, ou de l’image dans notre tête, à quelque chose de plus mathématique.

Eh bien, définissons certaines variables en commençant par l’aire du disque, que nous allons appeler grand 𝐴. Et que sait-on de 𝐴 ? On nous dit que cette aire augmente d’un cinquième de centimètre carré par seconde. Il s’agit d’un taux de croissance. On peut déduire cela de l’unité, centimètre carré par seconde. Et nous savons que la manière de représenter un taux de croissance, ou un taux de variation, mathématiquement est d’utiliser la dérivée. Le taux d’accroissement de la surface est alors 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡, où, bien sûr, 𝑡 représente le temps. Et on nous dit que cette valeur vaut un cinquième. Nous n’avons pas besoin d’ajouter les centimètres carrés par seconde ici. Mais il faut bien comprendre que c’est logique et que la grandeur 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 possède cette unité.

Passons maintenant à la deuxième phrase. Quel est le taux de croissance de son rayon lorsque le rayon est de six centimètres ? Dans cette phrase, on nous dit ce que nous devons calculer. Et encore une fois, nous parlons du taux de croissance, ou taux de variation, de quelque chose, cette fois, le rayon du disque. Donc, si nous appelons 𝑟 le rayon du disque, le taux de croissance du rayon, que nous devons déterminer est 𝑑𝑟 sur 𝑑𝑡. Eh bien, en fait, 𝑑𝑟 sur 𝑑𝑡 est une fonction qui va nous donner le taux de croissance du rayon à tout moment 𝑡 et pour tout rayon 𝑟. Nous cherchons sa valeur uniquement lorsque le rayon 𝑟 vaut six centimètres, ce qui correspond à la valeur de cette dérivée en 𝑟 égal à six.

La dernière phrase explique juste comment simplifier notre résultat. Nous allons donc la laisser de côté pour le moment. On nous a donné un taux, le taux avec lequel la surface augmente. Et on nous demande de déterminer la valeur d’un autre taux, le taux avec lequel le rayon augmente. Et ce ne sont pas des taux choisis au hasard, comme le taux de dérive des continents et le taux d’accroissement de l’argent sur un compte bancaire. Ce sont des taux d’accroissement liés. Et quelle est leur relation ? Eh bien, nous savons que l’aire d’un disque 𝐴 est liée au rayon de ce disque 𝑟 par la formule 𝐴 égale pi fois 𝑟 au carré. C’est ce qui nous manquait pour répondre à cette question.

Bon, maintenant que nous avons tous les éléments, voyons si nous pouvons déterminer 𝑑𝑟 sur 𝑑𝑡. Pour cela, nous allons utiliser la règle de dérivation des fonctions composées. On nous a donné la valeur de 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 dans l’énoncé. Et donc, c’est une très bonne idée de l’utiliser dans notre règle de dérivation en chaîne. Maintenant, la question est, quelle est l’autre dérivée ? Eh bien, ça va être 𝑑 quelque chose sur 𝑑 autre chose. Et comment déterminer ces valeurs ? Eh bien, sur le côté gauche, nous avons un 𝑑𝑟 en haut et nous n’en avons pas à droite. Donc, en imaginant que nous ayons des fractions pour le moment, le numérateur de la seconde dérivée devrait être 𝑑𝑟. Au dénominateur, nous avons déjà un 𝑑𝑡. Mais nous devons simplifier le 𝑑𝐴 au numérateur de la première dérivée à droite. Donc, le dénominateur est 𝑑𝐴.

Prenons une seconde maintenant pour vérifier qu’il s’agit bien d’une dérivation en chaîne. Et, nous pouvons maintenant remplacer les valeurs. Nous remplaçons 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 par un cinquième, pour obtenir que 𝑑𝑟 sur 𝑑𝑡 est égal à un cinquième fois 𝑑𝑟 sur 𝑑𝐴. Maintenant, comment déterminer 𝑑𝑟 sur 𝑑𝐴, le taux de croissance du rayon du disque par rapport à l’aire du disque ? Eh bien, nous allons utiliser la relation que nous avons entre l’aire 𝐴 et le rayon 𝑟. L’aire 𝐴 est égale à pi fois 𝑟 au carré. Et il existe plusieurs méthodes pour déterminer 𝑑𝑟 sur 𝑑𝐴 à partir de cette relation. Nous pouvons dériver par rapport à 𝑟, ce qui donne 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑟 égal à deux pi 𝑟. Et puis, nous pouvons utiliser le fait que 𝑑𝑟 sur 𝑑𝐴, ce que nous recherchons, est égal à un sur 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑟, pour obtenir que 𝑑𝑟 sur 𝑑𝐴 est égal à un sur deux pi 𝑟.

Si on ne sait pas que 𝑑𝑟 sur 𝑑𝐴 est simplement l’inverse de 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑟 ou, plus généralement, que 𝑑𝑥 sur 𝑑𝑦 est l’inverse de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, alors on peut retrouver le même résultat en dérivant 𝐴 égale pi fois 𝑟 au carré par rapport à 𝐴 avec des dérivées partielles. On a 𝑑𝐴 sur 𝑑𝐴 vaut un. Et nous pouvons appliquer la règle de dérivation en chaîne sur le côté droit. Et nous pouvons dériver pi fois 𝑟 au carré par rapport à 𝑟, comme précédemment. Et maintenant, il faut juste réarranger pour trouver 𝑑𝑟 sur 𝑑𝐴. Encore une fois, c’est un sur deux pi 𝑟. Remplaçons donc par cela 𝑑𝑟 sur 𝑑𝐴. En simplifiant, nous obtenons un sur 10 pi 𝑟. Avant de calculer cette expression de 𝑑𝑟 sur 𝑑𝑡 en 𝑟 égal à six pour trouver le résultat final, regardons d’abord si cette expression est logique.

Nous avons montré que le taux de croissance du rayon du disque 𝑟 par rapport au temps, lorsque l’aire du disque augmente à un rythme constant d’un cinquième de centimètre carré par seconde, vaut un sur 10 pi 𝑟. Comme le rayon 𝑟 du disque doit être positif, alors un sur 10 pi 𝑟 doit également être positif. Le taux de croissance du rayon par rapport au temps est positif. Et donc le rayon augmente. Ça tombe bien, cela correspond à l’image que nous avions en tête. Plus la surface du disque augmente, plus son rayon augmente également.

Mais notons que même si la surface augmente à un taux constant d’un cinquième de centimètre carré par seconde, le rayon n’augmente pas à un taux constant. La vitesse à laquelle le rayon augmente dépend du rayon 𝑟. Et 𝑑𝑟 sur 𝑑𝑡 devient de plus en plus petit au fur et à mesure que 𝑟 augmente. Et donc, bien que le rayon augmente et que les bords du disque s’éloignent de plus en plus du centre, la vitesse avec laquelle cela se produit diminue. Ce n’est pas vraiment nécessaire de comprendre tout cela pour répondre à la question. Mais c’est toujours bien d’y réfléchir.

Pour revenir au problème, nous avons trouvé 𝑑𝑟 sur 𝑑𝑡. Mais ce qu’on nous demande, c’est 𝑑𝑟 sur 𝑑𝑡 en 𝑟 égal six, ce qui, si vous vous en souvenez, est le taux de croissance du rayon du disque lorsque le rayon est de six centimètres. Faisons un peu de place pour faire le calcul. En remplaçant 𝑟 par six, nous obtenons un sur 10 pi fois six, soit un sur 60 pi. Et on nous dit dans l’énoncé d’utiliser le fait que pi est approximativement égal à 22 septièmes. Faisons donc cette substitution. Nous simplifions en multipliant le numérateur et le dénominateur par sept. Et en multipliant au dénominateur, nous obtenons sept sur 1320.

Mais, sept sur 1320 quoi? Quelle est l’unité ? Eh bien, c’est le taux d’accroissement du rayon par rapport au temps. Et le temps est donné en secondes. Et comme l’aire a été donnée en centimètres carrés, le rayon est donné en centimètres, nous avons donc une unité de centimètres par seconde. Interprétons ce résultat dans son contexte : lorsque l’aire d’un disque augmente à un taux constant d’un cinquième de centimètre carré par seconde, le taux de croissance du rayon du disque lorsque le rayon est de six centimètres est de sept sur 1320 centimètres par seconde. Tout cela en utilisant le fait que pi est approximativement égal à 22 septièmes.

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