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Vidéo de question : Différencier les fonctions racines et exponentielles Mathématiques

Dérivez la fonction définie par 𝑦 = 3𝑒^(𝑥) - 5/∛𝑥.

02:27

Transcription de vidéo

Dérivez la fonction définie par 𝑦 égale trois fois 𝑒 à la puissance 𝑥, moins cinq sur la racine cubique de 𝑥.

La première chose que nous allons faire est de réécrire notre équation en utilisant les règles des exposants. La première règle que nous allons utiliser est que 𝑥 à l’exposant un sur 𝑎 est égal à la racine 𝑎 ième de 𝑥, ce qui signifie que nous pouvons réécrire notre fonction comme 𝑦 égale trois fois 𝑒 à la puissance 𝑥, moins cinq sur 𝑥 à la puissance un tiers.

Et puis nous pouvons réellement utiliser une deuxième règle d’exposant, qui nous dit que 𝑥 à la puissance moins 𝑎 est égal à un sur 𝑥 à la puissance 𝑎. Donc, encore une fois, nous pouvons réécrire notre fonction. Et maintenant, nous pouvons la réécrire comme 𝑦 égale trois fois 𝑒 à la puissance 𝑥 moins cinq 𝑥 à la puissance moins un tiers. Et nous avons cela en appliquant chacune des règles relatives aux exposants dont nous avons parlé.

Vous pouvez en fait passer directement de la fonction d’origine à la ligne finale que nous avons à présent en les appliquant en une seule fois. Je viens simplement de vous montrer comment le faire étape par étape afin que vous compreniez comment les utiliser. D’accord, super ! Alors maintenant, allons-y et dérivons notre fonction.

Donc, si nous voulons trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, c’est-à-dire la dérivée de notre fonction, le premier terme que nous allons examiner est celui-ci. Notre premier terme est trois fois 𝑒 à la puissance 𝑥. Et dans ce terme, nous pouvons voir que nous avons 𝑒 à la puissance 𝑥. Et 𝑒 est juste un nombre où la pente de 𝑒 à la puissance 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑥. Donc, si nous dérivons notre terme, il nous restera trois fois 𝑒 à la puissance 𝑥 car il ne change pas. Et cette relation peut en fait être prouvée en utilisant des limites.

Alors maintenant, je vais passer au deuxième terme. Et nous allons obtenir plus cinq sur trois. Et nous obtenons cela parce que si nous prenons moins cinq, qui est notre coefficient, multiplié par notre exposant, qui est moins un tiers, nous allons obtenir plus cinq sur trois. Et puis cela va être multiplié par 𝑥 à la puissance moins quatre sur trois. Et nous obtenons cela parce que si nous avons moins un sur trois et que nous soustrayons un ou trois sur trois, nous obtenons moins quatre sur trois.

Donc, nous pouvons dire que si nous dérivons la fonction 𝑦 égale trois fois 𝑒 à la puissance 𝑥 moins cinq sur la racine cubique de 𝑥, nous allons obtenir trois 𝑒 à la puissance 𝑥 plus cinq tiers fois 𝑥 à la puissance moins quatre tiers.

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