Vidéo : Formules dérivées à travers la géométrie

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Formules dérivées à travers la géométrie

16:56

Transcription de vidéo

Maintenant que nous avons compris ce qu’est une dérivée et ce qu’elle a à voir avec les taux de variation, notre prochaine étape consiste à apprendre à calculer ces types. Comme si je vous donnais une sorte de fonction avec une formule explicite, vous voudriez pouvoir trouver quelle est la formule de sa dérivée. C’est peut-être évident, mais je pense que cela vaut la peine de préciser explicitement pourquoi c’est une chose importante à faire. Pourquoi une grande partie du temps d’un étudiant en analyse finit-elle par se débattre avec des dérivées de fonctions abstraites plutôt que de réfléchir à des problèmes concrets de taux de variation ?

C’est parce que beaucoup de phénomènes du monde réel, le genre de choses que nous voulons utiliser le calcul pour analyser, sont modélisés en utilisant des polynômes, des fonctions trigonométriques, des exponentielles et d’autres fonctions pures de ce type. Donc, si vous développez une certaine fluidité avec les idées de taux de variation pour ce type de fonctions abstraites pures. Cela vous donne un langage pour parler plus facilement de la vitesse à laquelle les choses changent dans des situations concrètes que vous pourriez utiliser de calcul pour modéliser.

Mais il est beaucoup trop facile pour ce processus de vouloir mémoriser une liste de règles. Et si cela se produit, si vous avez ce sentiment, il est également facile de perdre de vue le fait que les produits dérivées consistent essentiellement à examiner de minuscules changements en une certaine quantité. Et comment cela se rapporte à un changement minime résultant dans une autre quantité. Ainsi, dans cette vidéo et dans la suivante, mon objectif est de vous montrer comment penser à certaines de ces règles de manière intuitive et géométrique. Et je veux vraiment vous encourager à ne jamais oublier que de minuscules bouffées d’air sont au cœur des dérivées.

Commençons par une fonction simple comme 𝑓 de 𝑥 est égal 𝑥 au carré. Et si je vous demandais sa dérivée ? Autrement dit, si vous deviez regarder une valeur 𝑥, comme 𝑥 est égal à deux, et le comparer à une valeur légèrement plus grande, d𝑥 plus grand. Quel est le changement correspondant dans la valeur de la fonction, d𝑓 ? Et, en particulier, qu’est-ce que d𝑓 divisé par d𝑥, la vitesse à laquelle cette fonction change par unité de variation de 𝑥 ?

Comme première étape de l’intuition, nous savons que vous pouvez considérer ce rapport d𝑓 d𝑥 comme la pente d’une droite tangente à la courbe de 𝑥 au carré. Et à partir de là, vous pouvez voir que la pente augmente généralement avec 𝑥. À zéro, la tangente est plate et la pente est zéro. À 𝑥 est égal à un, c’est quelque chose d’un peu plus raide. À 𝑥 est égal à deux, c’est encore plus raide. Mais regarder des graphiques n’est généralement pas le meilleur moyen de comprendre la formule précise d’une dérivée. Pour cela, il est préférable de regarder de manière plus littérale ce que 𝑥 carré signifie réellement.

Et dans ce cas, nous allons aller de l’avant et l’image d’un carré de côté 𝑥. Si vous augmentez 𝑥 par un petit coup de pouce minuscule, quelques petits d𝑥, quel est le changement de l’aire de cette place ? Ce léger changement de surface est ce que d𝑓 signifie dans ce contexte. Il est la petite augmentation de la valeur de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré causée par l’augmentation 𝑥 par ce petit coup de coude d𝑥. Vous pouvez maintenant voir qu’il y a trois nouvelles aires dans ce diagramme, deux rectangles minces et un carré minuscule. Les deux rectangles minces ont chacune des longueurs latérales de 𝑥 et d𝑥. Ainsi, ils représentent deux fois 𝑥 fois d𝑥 unités de nouvelle aire.

Par exemple, supposons que 𝑥 valait trois et que d𝑥 valait 0.01. Alors que la nouvelle aire à partir de ces deux rectangles minces serait deux fois trois fois, ce qui est 0.01 à 0.06, environ six fois la taille de d𝑥. Ce petit carré a une aire de d𝑥 carré, mais vous devriez penser à cela comme étant vraiment minuscule, négligeable. Par exemple, si d𝑥 valait 0.01. ce ne serait que 0.0001. Et rappelez-vous, je dessine d𝑥 avec un peu de largeur juste pour que nous puissions le voir. Mais souvenez-vous toujours que, en principe, d𝑥 devrait être considéré comme une quantité infime. Et pour ces quantités vraiment minuscules, une bonne règle de base est que vous pouvez ignorer tout ce qui inclut un d𝑥 à une puissance strictement supérieure à un. Autrement dit, une petite variation au carré est une variation négligeable.

Ce que cela nous laisse est que d𝑓 est juste un multiple de d𝑥. Et ce multiple-deux 𝑥, que vous pouvez aussi écrire sous la forme d𝑓 divisé par d𝑥-est la dérivée de 𝑥 au carré. Par exemple, si vous commencez à 𝑥 est égal à trois, alors que vous augmentez légèrement 𝑥, le taux de variation de la surface par changement d’unité de longueur ajoutée, d𝑥 au carré sur d𝑥, serait deux fois trois ou six. Et si au lieu que vous commenciez à 𝑥 est égal à cinq, le taux de variation serait de 10 unités d’aire par unité de changement dans 𝑥.

Allons-y et essayez une simple fonction différente, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube. Ce sera la vision géométrique de la matière que j’ai étudié algébriquement dans la dernière vidéo. Ce qui est bien ici est que nous pouvons penser à 𝑥 au cube comme le volume d’un cube réel dont les longueurs côté sont 𝑥. Et lorsque vous augmentez 𝑥 par un petit coup de coude, un petit d𝑥, laquelle augmentation soutenue du volume est que j’ai ici en jaune. Cela représente tout le volume dans un cube dont les côtés 𝑥 ainsi que d𝑥 qui est pas déjà dans le cube original, celui dont les côtés 𝑥. Il est agréable de penser que ce nouveau volume est divisé en plusieurs composants. Mais presque tout provient de ces trois faces carrées. Ou, dit un peu plus précisément, alors que d𝑥 approche de zéro, ces trois carrés représentent une partie de plus en plus proche de 100% de ce nouveau volume jaune. Chacun de ces carrés mince a un volume de 𝑥 au carré fois d𝑥, l’aire de temps pour le visage que peu d’épaisseur 𝑥. Donc, au total, cela nous donne trois 𝑥 carré de d𝑥 de changement de volume.

Et pour être sûr, il y a d’autres éclats de volume ici, le long des bords, et ce minuscule dans le coin. Mais tout ce volume sera proportionnel à d𝑥 carré ou d𝑥 cube, nous pouvons donc les ignorer en toute sécurité. Encore une fois, cela est en fin de compte parce qu’ils vont divisé par d𝑥. Et s’il y a encore tout d𝑥 reste, alors ces termes ne vont pas survivre au processus de laisser d𝑥 approche zéro. Ce que cela signifie est que la dérivée de 𝑥 au cube, le taux auquel 𝑥 changements par changement cube unité de 𝑥, est trois fois 𝑥 au carré. Ce que cela signifie en termes d’intuition graphique, c’est que la pente de la courbe de 𝑥 au cube à chaque point 𝑥 est exactement de trois 𝑥 au carré.

Et en raisonnant sur cette pente, il devrait être logique que cette dérivée soit élevée à gauche, puis nulle à l’origine, puis élevée à nouveau lorsque vous vous déplacez à droite. Mais le simple fait de penser en termes de graphique ne nous aurait jamais permis d’atteindre la quantité exacte trois 𝑥 au carré. Pour cela, nous avons dû examiner de manière beaucoup plus directe ce que 𝑥 cube signifie réellement.

Maintenant, en pratique, vous ne penserez pas nécessairement au carré chaque fois que vous prendrez la dérivée de 𝑥 carré, ni ne penserez nécessairement à ce cube lorsque vous prendrez la dérivée de 𝑥 cube. Les deux relèvent d’un modèle assez reconnaissable pour les termes polynomiaux. La dérivée de 𝑥 puissance quatre s’avère être de quatre 𝑥 au cube. La dérivée de 𝑥 puissance cinq est de cinq 𝑥 puissance quatre, et ainsi de suite. Abstraitement, vous pouvez écrire ce que la dérivée de 𝑥 au 𝑛, pour une puissance 𝑛, est 𝑛 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. C’est ce qu’on appelle dans le milieu la règle des puissances.

En pratique, nous sommes tous vite blasés et réfléchissons symboliquement à l’exposant qui saute devant, laissant derrière lui un de moins que lui-même. Rarement, nous nous arrêtons pour réfléchir aux délices géométriques qui sous-tendent ces dérivées. C’est le genre de chose qui arrive quand ceux-ci ont tendance à tomber au milieu de calculs beaucoup plus longs. Mais plutôt que de suivre le modèle symbolique, prenons un instant pour réfléchir à la raison pour laquelle cela fonctionne pour des pouvoirs au-delà de deux et trois. Lorsque vous décalez cette entrée 𝑥, augmentant légèrement à 𝑥 ainsi que d𝑥, travaillant sur la valeur exacte de cette sortie poussée impliquerait de multiplier ces 𝑛 termes séparés 𝑥 ainsi que d𝑥. Le développement complète serait vraiment compliquée, mais l’un des avantages des dérivées est que la plupart de ces complications peuvent être ignorées. Le premier terme dans votre développement est 𝑥 au 𝑛. Ceci est analogue à l’aire du carré d’origine ou au volume du cube d’origine de nos exemples précédents.

Pour les termes suivants dans le développement, vous pouvez choisir la plupart du temps 𝑥 avec un seul d𝑥. Comme il y a 𝑛 différentes didascalies dont vous auriez pu choisir que seul d𝑥. Cela nous donne 𝑛 termes distincts tous qui comprennent 𝑛 moins un 𝑥 fois s annonce 𝑥, donnant une valeur de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins une fois d𝑥. Ceci est analogue à la façon dont la majorité de la nouvelle aire du carré est venue de ces deux barres, chacun avec aire 𝑥 fois d𝑥. Ou comment le gros du nouveau volume dans le cube provenait de ces trois carrés minces, chacun ayant un volume de 𝑥 fois 𝑥 carré. Il y aura beaucoup d’autres conditions de ce développement. Mais tous vont juste être un multiple de 𝑥 carré, donc nous pouvons les ignorer en toute sécurité.

Et ce que cela signifie est que tous, sauf une partie négligeable de l’augmentation de la production provient de 𝑛 exemplaires de ce 𝑥 puissance 𝑛 moins une fois d𝑥. Voilà ce que cela signifie pour la dérivée de 𝑥 puissance 𝑛 être 𝑛 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Et même si, comme je l’ai dit dans la pratique, vous vous retrouverez à interpréter cette dérivée de manière rapide et symbolique, en imaginant l’exposant se diriger vers le bas. De temps en temps, il est agréable de prendre du recul et de se rappeler pourquoi ces règles fonctionnent. Pas simplement parce que c’est joli et pas seulement parce que ça aide à nous rappeler que les mathématiques ont un sens et ne sont pas simplement une pile de formules à mémoriser. Mais parce qu’il fléchit ce muscle très important de la pensée sur les dérivées en termes de minuscules poussées.

Autre exemple, pensez à la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥. Maintenant, d’une part, vous pouvez simplement essayer aveuglément d’appliquer la règle des puissances puisqu’un divisé par 𝑥 revient à écrire 𝑥 puissance moins un. Cela impliquerait que le négatif saute devant en laissant derrière lui un moins que lui-même, ce qui est moins deux. Mais amusons-nous et voyons si nous pouvons raisonner à ce sujet géométriquement plutôt que de simplement le poser à l’aide d’une formule. La valeur un sur 𝑥 demande quel nombre multiplié par 𝑥 est égal à un. Alors voici comment je voudrais le visualiser.

Imaginez une petite flaque d’eau rectangulaire assise en deux dimensions et dont l’aire est un. Et disons que sa largeur est 𝑥, ce qui signifie que la hauteur doit être l’un sur 𝑥, puisque l’aire totale de celui-ci est un. Donc, si 𝑥 a été étendu à deux, cette hauteur est réduite de moitié. Et si vous avez augmenté 𝑥 jusqu’à trois, puis l’autre côté doit être ratatinée jusqu’à un tiers. C’est une bonne façon de penser à la courbe de un sur 𝑥, au fait. Si vous pensez à cette largeur, 𝑥, à la flaque d’eau comme étant dans le plan 𝑥𝑦. Ensuite, la sortie correspondante — un divisé par 𝑥, la hauteur de la courbe située au-dessus de ce point correspond à la hauteur de votre flaque pour maintenir une aire égale à un.

Donc, avec ce visuel en tête, pour la dérivée, imaginez que vous augmentiez légèrement la valeur de 𝑥 d’une valeur infime, d’une valeur minime de 𝑥. Comment la hauteur de ce rectangle doit-elle changer pour que la surface de la flaque reste constante à un ? En d’autres termes, si vous augmentez la largeur de d𝑥, ajoutez une nouvelle aire à droite. Ainsi, la flaque d’eau doit diminuer en hauteur par certains d un sur 𝑥 pour que l’aire a perdu au large de ce haut annule l’aire gagnée. Soit dit en passant, vous devriez considérer ce dépassement de 𝑥 comme une quantité négative, car cela diminue la hauteur du rectangle.

Et vous savez quoi ? Je vais laisser les dernières étapes ici pour vous, pour que vous puissiez faire une pause, réfléchir et élaborer une expression ultime. Et une fois que vous décidez quel d un sur 𝑥 divisé par d𝑥 devrait être. Je veux que vous compariez cela à ce que vous auriez obtenu si vous aviez simplement appliqué aveuglément la règle des puissances, de manière purement symbolique, à 𝑥 puissance moins un. Et tandis que je vous encourage à faire une pause et à réfléchir, voici un autre défi amusant, si vous vous sentez à la hauteur. Voyez si vous pouvez raisonner ce que la dérivée de la racine carrée de 𝑥 devrait être.

Pour terminer, je veux aborder un autre type de fonction, les fonctions trigonométriques. Et en particulier, concentrons-nous sur la fonction sinus. Donc, pour cette section, je vais supposer que vous savez déjà comment penser aux fonctions trigonométriques en utilisant le cercle unitaire. Le cercle de rayon un centré à l’origine. Pour une valeur donnée de 𝜃, comme, disons 0.8, vous vous imaginez marcher autour du cercle en partant du point le plus à droite jusqu’à ce que vous avez cette distance qui parcourront de 0.8 en longueur de l’arc. Ceci est la même chose que de dire que l’angle est ici exactement 𝜃 radians, puisque le cercle a un rayon égal à un.

Alors ce que le sinus de 𝜃 signifie est la hauteur de ce point au-dessus de l’axe des 𝑥. Et lorsque votre valeur de 𝜃 augmente et vous tournez autour du cercle, votre hauteur monte et descend entre moins un et plus un. Ainsi, lorsque vous représentez le sinus de 𝜃 par rapport à 𝜃, vous obtenez ce motif d’onde, le motif d’onde par excellence. Et juste en regardant ce graphique, nous pouvons commencer à avoir une idée de la forme de la dérivée du sinus. La pente à zéro est quelque chose de positif puisque le sinus de 𝜃 augmente là. Et alors que nous allons vers la droite et le sinus de 𝜃 approche de son pic, cette pente descend à zéro. Ensuite, la pente devient négative pendant un petit moment, tandis que le sinus décroît avant de revenir à zéro lorsque la courbe sinusoïdal s’estompe.

Et comme vous continuez à penser cela à travers et en tirant dehors, si vous êtes familier avec la courbe des fonctions trigonométriques, vous pouvez deviner que ce graphique dérivé doit être exactement cos de 𝜃 puisque tous les sommets et les vallées alignent parfaitement avec où les pics et les vallées pour la fonction cosinus devraient être. Et, spoiler alerte, la dérivée est en fait le cos de 𝜃. Mais n’êtes-vous pas un peu curieux de savoir pourquoi c’est précisément le cos de 𝜃 ?

Je veux dire que vous pourriez avoir toutes sortes de fonctions avec des pics et des vallées aux mêmes points qui ont à peu près la même forme, mais qui sait ? Peut-être que la dérivée de sine aurait pu être un type de fonction entièrement nouveau ayant la même forme. Comme dans les exemples précédents, une compréhension plus exacte de la dérivée nécessite de regarder ce que représente réellement la fonction plutôt que de regarder la courbe de la fonction.

Alors repensez à cette promenade autour du cercle des unités. Après avoir traversé un arc de longueur 𝜃 et la réflexion sur le sinus de 𝜃 comme la hauteur de ce point. Maintenant, zoomez sur ce cercle et considérez un léger coup de pouce d𝜃 sur leur circonférence, une toute petite étape de votre parcours autour du cercle unitaire. Combien ce petit pas changer le sinus de 𝜃 ? Combien cette augmentation, d𝜃, de la longueur d’arc augmenter la hauteur au- dessus de l’axe des 𝑥 ? Eh bien, zoomé assez près, le cercle ressemble en gros à une droite droite dans ce quartier. Alors allons de l’avant et pensons à ce triangle rectangle où l’hypoténuse de ce triangle rectangle représente le coup de pouce, d𝜃, le long de la circonférence. Et ce côté gauche représente ici le changement de hauteur, le sinus d résultant de 𝜃.

Maintenant, ce petit triangle est en fait similaire à ce triangle plus grand ici, avec l’angle définissant 𝜃 et dont l’hypoténuse est le rayon du cercle avec longueur. Plus précisément, ce petit angle ici est précisément égal à 𝜃 radians. Maintenant, réfléchissez à ce que la dérivée de sin est censé vouloir dire. Il est le rapport entre cette sin d de 𝜃, la petite variation de la hauteur, divisée par d𝜃, la petite variation à l’entrée de la fonction. Et à partir de l’image, nous pouvons voir que c’est le rapport entre la longueur du côté adjacent à l’angle 𝜃 divisé par l’hypoténuse. Voyons voir. Un côté divisé par l’hypoténuse, qui est exactement ce que le cos de 𝜃 signifie. C’est la définition du cosinus.

Cela nous donne donc deux façons vraiment agréables de penser à la façon dont la dérivée du sinus est le cosinus. L’un d’entre eux regarde la courbe et commence à avoir une idée générale de la forme des choses en pensant à la pente du graphe sinusoïdal à chaque point. Et l’autre est un raisonnement plus précis qui regarde le cercle unitaire lui-même. Pour ceux d’entre vous qui aiment faire une pause et réfléchir, voyez si vous pouvez essayer un raisonnement similaire pour trouver ce que devrait être la dérivée du cos de 𝜃.

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