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Vidéo de question : Utiliser les moments pour déterminer les composantes d’une force Mathématiques

Deux forces 𝐅₁ et 𝐅₂ agissent respectivement aux points 𝐴 (4 ; 1) et 𝐵 (3 ; -1), avec 𝐅₁ = 3𝐢 - 𝐣 et 𝐅₂ = 𝑚𝐢 + 2𝐣. Si la somme des moments des forces autour du point d’origine est nulle, déterminez la valeur de 𝑚.

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Transcription de vidéo

Deux forces 𝐅 un et 𝐅 deux agissent aux points 𝐴 quatre, un et 𝐵 trois, moins un respectivement, où 𝐅 un est égal à trois 𝐢 moins 𝐣 et 𝐅 deux est égal à 𝑚𝐢 plus deux 𝐣. Si la somme des moments des forces autour de l’origine est nulle, déterminez la valeur de 𝑚.

Rappelons que le moment 𝑚 d’une force 𝐅 agissant à partir d’un point 𝑃 autour d’un pivot 𝑂 est donné par le produit vectoriel de 𝐫 par 𝐅, où 𝐫 est le vecteur de 𝑂 à 𝑃. Dans cette question, on nous dit que la somme des moments de 𝐅 un et 𝐅 deux autour de l’origine est égale à zéro ou au vecteur zéro. Nous appellerons le moment de 𝐅 un 𝐌 un et le moment de 𝐅 deux 𝐌 deux. Si nous posons 𝐫 un égal au vecteur position du point 𝐴 où 𝐅 un agit, et 𝐫 deux égal au vecteur position du point 𝐵 où 𝐅 deux agit, alors la somme de ces deux moments est le produit vectoriel de 𝐫 un par 𝐅 un plus le produit vectoriel de 𝐫 deux par 𝐅 deux.

𝐫 un est donc le vecteur quatre, un ; 𝐅 un est le vecteur trois, moins un ; 𝐫 deux est aussi le vecteur trois, moins un ; et 𝐅 deux est le vecteur 𝑚, deux. Ces deux produits vectoriels sont alors les déterminants des matrices trois-trois 𝐢, 𝐣, 𝐤, quatre, un, zéro, trois, moins un, zéro et 𝐢, 𝐣, 𝐤, trois, moins un, zéro, 𝑚, deux, zéro. Tous les vecteurs impliqués sont dans le plan 𝑥𝑦 et ont une composante 𝐤 de zéro. Par conséquent, seule la composante 𝐤 de leurs produits croisés sera non nulle. Nous calculons ces deux déterminants en développant le long de leurs rangées supérieures, ce qui nous donne moins sept 𝐤 plus six plus 𝑚 𝐤. Cela simplifie à 𝑚 moins un 𝐤.

On nous dit dans la question que cette somme des deux moments est égale au vecteur zéro, donc nous avons 𝑚 moins un 𝐤 égal au vecteur zéro. Pour qu’un vecteur soit égal au vecteur nul, toutes ses composantes doivent être égales à zéro. Donc 𝑚 moins un est égal à zéro. En isolant 𝑚 nous donne notre réponse finale, 𝑚 est égal à un.

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