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Le point 𝐾 se situe entre les points 𝐽 et 𝐿. Si 𝐽𝐾 égale 𝑥 au carré plus huit 𝑥, 𝐾𝐿 égale trois 𝑥 moins deux et 𝐽𝐿 égale 40, déterminez la longueur du segment 𝐽𝐾.
Dans cette question, on a trois points 𝐾, 𝐽 et 𝐿 qui appartiennent à une même une droite. On nous donne des expressions des longueurs de plusieurs segments de cette droite en fonction d’une inconnue 𝑥. Tout d’abord, on nous dit que 𝐽𝐾 égale 𝑥 au carré plus huit 𝑥. Alors notons cette longueur sur notre diagramme. On sait aussi que 𝐾𝐿 est égal à trois 𝑥 moins deux. Notons également cette longueur sur notre diagramme. Enfin, on nous dit que 𝐽𝐿, qui est la longueur du segment entier, égale 40. Et on nous demande de déterminer la longueur du segment 𝐽𝐾. Pour cela, on va devoir déterminer la valeur de l’inconnue 𝑥. Les informations dont on dispose nous permettent de former une équation.
Comme les trois points appartiennent à une même droite, on sait que la longueur de 𝐽𝐾 plus la longueur de 𝐾𝐿 égale la longueur du segment entier 𝐽𝐿. On peut remplacer les expressions qu’on connaît dans cette équation. On a 𝐽𝐾 égale 𝑥 au carré plus huit 𝑥. Puis 𝐾𝐿 égale trois 𝑥 moins deux. Et pour 𝐽𝐿, on nous a donné la valeur 40. On obtient alors l’équation 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus trois 𝑥 moins deux égale 40. Après simplification du membre de gauche, on obtient 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins deux égale 40.
On va maintenant soustraire 40 des deux côtés de l’équation pour regrouper tous les termes sur le côté gauche. Cela nous donne 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins 42 égale zéro. C’est une équation du second degré d’inconnue 𝑥. On doit la résoudre. Il existe plusieurs méthodes pour cela. On pourrait essayer de factoriser l’équation, utiliser la formule des racines du second degré ou compléter le carré.
Lorsque l’équation du second degré peut être résolue par factorisation, c’est généralement la méthode la plus efficace. Donc c’est ce qu’on va essayer en premier. On cherche deux polynômes de degré un dont le produit est égal à 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins 42. Le coefficient de 𝑥 au carré est un, donc on sait que le premier terme de chacun de nos deux facteurs doit être 𝑥, car multiplier 𝑥 par 𝑥 nous donne 𝑥 au carré.
Pour compléter nos deux facteurs, il nous reste à trouver deux valeurs qui vérifient deux propriétés. Premièrement, la somme de ces deux valeurs doit être égale au coefficient de 𝑥. Donc la somme doit être égale à plus 11. Deuxièmement, le produit de ces deux valeurs doit être égal au terme constant, qui est moins 42.
Pour trouver ces deux valeurs, on commence par lister toutes les paires de facteurs de 42. On a les paires un et 42, deux et 21, trois et 14, et six et sept. Pour que le produit de nos deux nombres soit égal à moins 42, ils doivent être de signes opposés. Donc l’un doit être positif et l’autre négatif. Si on prend notre troisième paire de facteurs et qu’on remplace trois par moins trois, on obtient moins trois et 14, dont le produit est égal à moins 42. Et leur somme est égale à 11. Donc il s’agit des deux valeurs qu’on recherchait pour compléter nos deux facteurs.
Donc on peut factoriser notre expression sous la forme 𝑥 plus 14 multiplié par 𝑥 moins trois. Et c’est égal à zéro. Bien sûr, on pourrait vérifier que notre factorisation est correcte en la développant pour nous assurer qu’on retrouve bien 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins 42.
Ensuite, on peut rappeler que pour qu’un produit soit nul, au moins l’un de ses facteurs doit être nul. Donc on a soit 𝑥 plus 14 égale zéro, soit 𝑥 moins trois égale zéro. Ce sont deux équations linéaires qui se résolvent chacune en une seule étape. Pour résoudre la première équation, on soustrait 14 des deux côtés et on obtient 𝑥 égale moins 14. Pour résoudre la seconde équation, on additionne trois des deux côtés et on obtient 𝑥 égale trois. Nous avons donc trouvé deux solutions à notre équation du second degré : 𝑥 égale moins 14 et 𝑥 égale trois. On doit maintenant vérifier si ces solutions sont toutes les deux valides dans le contexte de la question.
En revenant à notre diagramme, on peut voir que la longueur de 𝐾𝐿 est égale à trois 𝑥 moins deux. Si on utilisait la valeur 𝑥 égale moins 14, cela nous donnerait une longueur de 𝐾𝐿 égale à trois fois moins 14 moins deux, soit moins 44. On obtiendrait une valeur négative alors que la longueur d’un segment doit toujours être positive, donc 𝑥 égale moins 14 ne peut pas être la valeur qu’on recherche. Bien que 𝑥 égale moins 14 soit une solution valide de notre équation du second degré, ce n’est pas la valeur qui nous permettra de résoudre le problème. Donc on élimine cette valeur et on retient 𝑥 égale trois.
Mais n’oublions pas qu’on doit déterminer la longueur du segment 𝐽𝐾 et pas seulement la valeur de 𝑥. Donc notre dernière étape va être de remplacer 𝑥 par notre valeur de trois dans l’expression de la longueur de 𝐽𝐾. Il s’agit de 𝑥 au carré plus huit 𝑥. En remplaçant 𝑥 par trois, on obtient trois au carré plus huit fois trois. C’est égal à neuf plus 24, soit 33.
Il semblerait donc qu’on ait trouvé notre réponse, mais vérifions d’abord si elle est correcte. Pour ce faire, on va utiliser notre valeur de 𝑥 pour calculer la longueur du segment 𝐾𝐿, puis on va vérifier que la somme de nos deux segments est bien égale à 40. L’expression de la longueur de 𝐾𝐿 est trois 𝑥 moins deux. En remplaçant 𝑥 par trois, on obtient trois fois trois moins deux. C’est égal à neuf moins deux, soit sept. Et 33 plus sept est égal à 40. Donc cela confirme que notre réponse est correcte. En formant et en résolvant une équation du second degré, nous avons déterminé que la longueur du segment 𝐽𝐾 est égale à 33 unités.
