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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble image d’une fonction à partir de sa représentation graphique Mathématiques

Lequel des choix suivants correspond à l’ensemble image de la fonction 𝑓 (𝑥) = | 𝑥 + 8 | - 7 ? [A] ℝ - {−7} [B] ℝ [C] ]−7, ∞[ [D] [−7, ∞[ [E] ℝ - {−8}

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Transcription de vidéo

Lequel des choix suivants correspond à l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale la valeur absolue de 𝑥 plus huit moins sept ? Est-ce l’option (A) de l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant moins sept ? Option (B) l’ensemble des nombres réels. Option (C) l’intervalle ouvert de moins sept à ∞. Est-ce l’option (D) l’intervalle fermé à gauche, l’intervalle ouvert à droite de moins sept à ∞ ou l’option (E) l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant moins huit ?

Dans cette question, on nous demande de déterminer l’ensemble image d’une fonction donnée. Et nous pouvons voir que la fonction donnée 𝑓 de 𝑥 contient la fonction valeur absolue, et on nous donne une représentation graphique de cette fonction. Cela signifie que nous pouvons répondre à cette question algébriquement en regardant l’équation de la fonction. Ou nous pouvons y répondre graphiquement en considérant la signification de l’ensemble image par rapport à la représentation graphique de la fonction. Utilisons cette dernière méthode. Il s’agit de l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de la fonction étant donné son ensemble de définition, qui représente l’ensemble des valeurs d’entrée possibles.

Essayons de déterminer l’ensemble image de cette fonction à partir de sa représentation graphique. Pour ce faire, nous savons que l’abscisse 𝑥 d’un point sur le graphe nous indique la valeur d’entrée de la fonction, tandis que l’ordonnée 𝑦 équivalente nous indique la valeur de sortie de la fonction. Par exemple, nous pouvons voir que la représentation graphique de cette fonction passe par le point de coordonnées moins 30, 15. Par conséquent, 𝑓 calculé en moins 30 doit être égale à 15. 15 est un élément de l’ensemble image de cette fonction. C’est une valeur de sortie possible. Et nous pouvons, bien sûr, vérifier cela en remplaçant moins 30 dans la fonction 𝑓 de 𝑥.

Mais l’ensemble image de notre fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles de la fonction. Comme les ordonnées 𝑦 des points sur la représentation graphique nous indiquent les valeurs de sortie possibles de la fonction, alors l’ensemble image de la fonction est l’ensemble de toutes les ordonnées 𝑦 des points sur sa représentation graphique. Essayons donc de déterminer les ordonnées 𝑦 des points appartenant au à la représentation graphique. Pour ce faire, nous pouvons noter qu’il existe un point avec l’ordonnée 𝑦 la plus basse. C’est le point qui se trouve juste au coin. Cependant, nous ne pouvons pas déterminer l’ordonnée 𝑦 de ce point uniquement à partir de la figure, nous devrons donc déterminer les coordonnées de ce point en utilisant la fonction.

Pour ce faire, nous rappelons que 𝑓 de 𝑥 est la valeur absolue de 𝑥 plus huit, puis nous soustrayons sept. Et le point avec l’ordonnée 𝑦 la plus basse sera déterminé lorsque la valeur de sortie de cette fonction est la plus basse. Nous devons donc rendre la valeur absolue de 𝑥 plus huit moins sept la plus petite possible. Pour ce faire, nous notons que la valeur absolue de 𝑥 plus huit sera toujours supérieure ou égale à zéro. Et nous ne pouvons pas affecter la valeur de moins sept car c’est une constante. Par conséquent, la valeur de sortie la plus petite de cette fonction sera déterminée lorsque la valeur absolue de 𝑥 plus huit est égale à zéro. Cela se produit lorsque 𝑥 est moins huit. Par conséquent, nous avons montré que moins huit est la valeur d’entrée de la valeur de sortie la plus basse de notre fonction. Le moins huit est l’abscisse 𝑥 du coin.

Et nous pouvons l’utiliser pour déterminer l’ordonnée 𝑦. L’ordonnée 𝑦 sera 𝑓 calculée en moins huit. Et nous pouvons calculer notre fonction en moins huit en remplaçant moins huit dans la fonction. C’est la valeur absolue de moins huit plus huit moins sept. Et cela équivaut à moins sept. Par conséquent, moins sept est un élément de l’ensemble image de notre fonction, et aucune valeur inférieure à moins sept est un élément de l’ensemble image. C’est le plus petit élément de l’ensemble image.

Pour déterminer le reste de l’ensemble image de cette fonction, nous devons rappeler que la représentation graphique de cette fonction continue indéfiniment dans les deux sens. Et en particulier, cela signifie que pour toute valeur 𝑦 supérieure ou égale à moins sept, il y a un point sur la représentation graphique de la fonction avec ceci comme ordonnée 𝑦. En d’autres termes, c’est une valeur de sortie possible de la fonction. Par conséquent, l’ensemble image de cette fonction comprend moins sept et c’est non-borné. Cela va jusqu’à ∞. Nous écrivons cela comme l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite de moins sept à ∞. Par conséquent, nous avons pu montrer que l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à la valeur absolue de 𝑥 plus huit moins sept est l’option (D) : l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite de moins sept à ∞.

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