Vidéo : Aires des prismes

Apprenez à calculer l’aire totale d’un prisme en dessinant son réseau ou en considérant les faces individuellement. Nous examinerons des exemples comprenant des cubes, des prismes rectangulaires et des prismes triangulaires et discuterons du fait que les surfaces sont données en unités carrées.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment calculer l’aire d’un prisme.

Un prisme à retenir est un type particulier de figure tridimensionnelle. Il a la propriété particulière que si vous le coupez à un endroit quelconque de sa longueur, la face que vous voyez est toujours constant. Il a ce qu’on appelle une section transversale constante. Donc, les exemples sur l’écran ici, il y a un cube. Si vous coupez cela à n’importe quel endroit de sa longueur, vous verrez toujours un carré. Un pavé droit, si vous coupez cela en un point quelconque, vous verrez un rectangle. Et le prisme triangulaire, si vous coupez ce point, vous verrez cette face triangulaire ici.

Maintenant, on entend par l’aire d’un prisme, l’aire totale de toutes les faces du prisme. Donc, vous pouvez aussi y penser de différentes manières. La première peut-être, comme vous pouvez l’imaginer, si vous deviez envelopper un de ces prismes, c’est l’aire exacte du papier d’emballage dont vous auriez besoin pour couvrir l’ensemble de ses faces, sans chevauchement ni fente.

Ou vous pouvez penser comme si vous deviez dérouler un de ces prismes et le rendre bidimensionnel, alors c’est l’aire exacte de la carte, par exemple, dont vous auriez besoin pour créer ce que nous appelons le patron du prisme. Le patron est donc le patron bidimensionnel que vous souhaitez créer pour le plier ensuite pour construire l’un de ces prismes tridimensionnels. Nous verrons donc comment calculer le prisme de l’aire pour deux types différents.

Notre première question nous demande donc de trouver l’aire d’un cube de huit centimètres de côté.

Maintenant, nous allons répondre à cette question en réfléchissant au patron d’un cube. Nous devons donc réfléchir aux différents faces de ce cube. Maintenant, un cube a six faces. Et ce sont tous des carrés de huit centimètres de côté. Maintenant, vous pouvez organiser ces six carrés de différentes façons lorsque vous tracez le réseau d’un cube, mais la plus courante consiste peut-être à les voir disposés en une sorte de croix, comme celle-ci. Si vous le souhaitez, vous pouvez dessiner un patron de ce type sur un morceau de carton ou de papier et le découper, puis le plier et vérifier qu’il se plie bien dans cette forme de cube.

Nous savons maintenant à quoi ressemble le patron du cube. Nous devons juste déterminer quel est l’ensemble de définition de cette carte. Donc, nous avons six faces. Et dans le cas du cube, ils sont tous exactement les mêmes. Donc, nous pouvons simplement calculer l’ensemble de définition d’un, puis le multiplier par six. Maintenant, chacun de ces faces est un carré et la longueur du côté est de huit centimètres, de sorte que l’aire d’un carré, on va multiplier par huit et huit qui nous donne 64 centimètres carrés. Donc, c’est l’aire de chacune de ces faces carrées.

Pour calculer l’aire totale, il faut donc multiplier ce 64 par six. Et puis, cela nous donnera une réponse de 384 centimètres carrés. Il est donc très utile de dessiner le réseau du prisme auquel nous nous intéressons afin de pouvoir visualiser tous les différents faces impliqués et d’inclure les aires de tous les faces dans nos calculs. Juste une note sur les unités, nous examinons les formes 3D, mais nous pensons les développer en formes bidimensionnelles. Par conséquent, les unités sont les unités de surface, les centimètres carrés, les millimètres carrés, etc.

Notre prochaine question concerne un pavé droit ou un prisme rectangulaire. Et il nous demande de trouver l’aire de ce pavé droit ci-dessous, qui a des dimensions de cinq, 12 et trois millimètres.

Donc, nous pourrions y répondre comme nous avons fait la question du cube. Nous pourrions tirer le patron de ce pavé droit. Mais je vais en fait aborder celui-ci d’une manière légèrement différente. Plutôt que de dessiner tous les faces, je vais simplement décrire les différents faces impliqués. Ainsi, un pavé droit a aussi six faces, mais contrairement au cube, elles ne sont pas toutes identiques, car les mesures sont différentes. Cependant, ils viennent par paires. Et nous devons penser à trois paires de faces, l’avant et l’arrière, identiques, le haut et la base, puis les côtés gauche et droit.

Donc, je vais décomposer ce calcul en trois étapes où je vais trouver les surfaces de ces trois paires. Donc, je vais commencer par l’avant et l’arrière. L’avant et l’arrière sont des rectangles et ils mesurent cinq millimètres, puis trois millimètres pour la hauteur. Donc, comme ce sont des rectangles, les aires pour celles-ci vont juste être trouvées en multipliant les trois et les cinq ensemble. Et comme il y en a deux, je vais aussi inclure un facteur deux. Cela me donne donc une contribution de 30 millimètres carrés à l’avant et à l’arrière.

Ensuite, je vais penser au sommet et à la base du pavé droit, qui sont ces faces que j’ai marquées en vert. Maintenant, ce sont des rectangles. Et les mesures pour le haut et la base sont de cinq millimètres et 12 millimètres, donc multiplier ces deux ensemble. Là encore, c’est le sommet et la base. J’en ai deux, alors je dois aussi le multiplier par deux. Cela me donne donc une contribution de 120 millimètres carrés pour le dessus et la base.

Enfin, je dois penser aux côtés du pavé droit, donc à gauche et à droite. Ce sont aussi des rectangles, et leurs mesures sont de 12 et trois millimètres. Donc, je vais multiplier 12 par trois. Et encore une fois, comme pour toutes les autres paires, il y en a deux. Donc, je dois aussi doubler cela. Et donc, cela me donne 72 millimètres carrés pour les deux côtés.

Dernière étape alors, je veux l’aire totale. Il me faut donc additionner les surfaces que j’ai calculées : 30 plus 120 plus 72. Et cela me donne une surface totale de 222 millimètres carrés pour tout le pavé droit. Donc, pour récapituler rapidement ce que nous avons fait là-bas, nous avons examiné les trois paires de faces différentes que nous avions, l’avant et l’arrière, le haut et la base, puis les deux côtés. Et ensuite, nous avons travaillé sur ces ensemble de définitions et les avons tous ajoutés ensemble. Nous avions donc six faces incluses dans le calcul global.

Notre dernière question nous demande de trouver l’aire du prisme triangulaire montré.

Donc, en regardant la figure, nous avons un prisme triangulaire. Et c’est un triangle rectangle. Nous pouvons le voir sur l’étiquette du diagramme. Ainsi, vous pouvez dessiner un réseau complet pour le prisme triangulaire ou bien vous pouvez simplement réfléchir à ce que sont les différents faces impliqués. Maintenant, vous voudrez peut-être prendre une minute pour mettre la vidéo en pause et visualiser le nombre de faces et leur forme.

Donc, il y a en fait cinq faces sur un prisme triangulaire. Il y a les triangles rectangles que nous voyons à l’avant et à l’arrière, qui sont identiques. Il y a un rectangle sur la base plate de ce prisme. Il y a un autre rectangle qui est ce genre de face que nous ne pouvons pas voir à côté du prisme. Et puis, il y a le côté en pente, qui est aussi un autre rectangle. Et nous devrons réfléchir soigneusement aux dimensions de chacune d’elles.

Commençons donc avec la base. La base, comme je l’ai dit, est un rectangle. Et les dimensions de la base sont trois mètres et sept mètres. Donc, pour trouver l’aire de cette base rectangulaire, on est juste va multiplier les trois et les sept ensemble. Cela nous donne donc 21 mètres carrés comme contribution de la base.

Maintenant, pensons aux faces triangulaires à l’avant et à l’arrière de ce prisme. Donc, pour un triangle, nous faisons la base multipliée par la hauteur perpendiculaire, puis nous la divisons par deux. Donc, pour ces triangles, ce sera trois fois quatre divisé par deux. Mais comme il y en a deux, l’avant et l’arrière, nous devons également le multiplier par deux. Donc, cette division et cette multiplication par deux s’annulent. Et nous nous retrouvons avec 12 mètres carrés comme contribution de l’avant et de l’arrière.

Maintenant, pensons à la face verticale derrière ce prisme. Donc, c’est le genre de face autour du côté que nous ne pouvons pas vraiment voir. Donc, c’est aussi un rectangle. Et il a une hauteur de quatre ici. Et puis, cette dimension ici est de sept mètres. Ainsi, l’aire de cette face verticale puis, il est un rectangle, donc quatre fois sept, il est va être 28 mètres carrés.

Donc, cela représente quatre des cinq faces. Et la dernière chose à laquelle nous devons penser est cette face en pente ici, celle que je marque en violet pour le moment. Maintenant, c’est aussi un rectangle. Et nous pouvons voir que l’une de ses dimensions est de sept mètres. Mais nous devons bien réfléchir à ce qu’est son autre dimension, donc quelle est cette longueur. Et pour ce faire, nous devons examiner le triangle rectangle dont cette longueur fait partie, donc le triangle rectangle situé à l’avant de ce prisme triangulaire.

Maintenant, vous devez vous rappeler un autre travail dans l’ensemble de définition des mathématiques. Vous devez vous rappeler le théorème de Pythagore, qui nous dit comment les longueurs d’un triangle rectangle sont liées les unes aux autres. Et si vous vous en souvenez bien, le théorème de Pythagore nous dit que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse, le côté le plus long, c’est-à-dire ce côté rouge, est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts.. Donc, dans ce triangle, ce sont les trois mètres et les quatre mètres.

Donc, je dois faire un peu de travail. Si je donne cette lettre, peut-être la lettre 𝑥, alors je peux écrire ce que le théorème de Pythagore me dit de ce triangle. Donc, il me dit que 𝑥 carré égal à trois au carré plus quatre. Ensuite, je peux passer par le travail pour évaluer ce que 𝑥 carré est égal à. Ainsi, trois au carré et quatre au carré sont neuf et 16, et quand je les ajoute ensemble, je reçois 25. Si je prends alors la racine carrée, qui me dit que 𝑥 est égal à cinq.

Maintenant, vous avez peut-être pu le constater sans réellement vous entraîner, car trois-quatre-cinq est un exemple de triplet pythagoricien. C’est-à-dire un triangle rectangle où les longueurs des trois côtés sont toutes des entiers. Donc, si vous le saviez, vous auriez peut-être pu y prendre un petit raccourci. Quoi qu’il en soit, nous avons constaté que la longueur de ce côté est de cinq mètres. Alors, maintenant, il ne vous reste plus qu’à déterminer l’aire de cette dernière face.

Donc, je viens de travailler au bas ici. Ces petites esquisses ne sont pas à l’échelle d’ailleurs. Donc, face inclinée avec des mesures de sept mètres et cinq mètres, sa surface sera donc sept fois plus, multipliant par cinq, soit 35 mètres carrés pour l’aire de cette face inclinée finale. Bien, la dernière étape de ce calcul consiste alors à additionner les aires de tous ces faces. Donc, l’aire totale alors, 21 plus 12 plus 28 plus 35 plus 35, ce qui me donne une réponse finale de 96 mètres carrés, ou mètres carrés.

Donc, pour résumer, l’aire d’un prisme est l’aire totale de toutes ses faces. Vous devez vous assurer de tenir compte de tous les faces. Et vous pouvez le faire en tirant le patron du prisme. Ou vous pouvez simplement visualiser les différentes faces et les dimensions. Ou peut-être pourriez-vous les dessiner séparément, comme nous l’avons fait dans cet exemple ici.

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