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Vidéo de la leçon : Fonctions définie par morceaux Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier, écrire et déterminer la valeur d'une fonction définie par morceaux.

12:17

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment identifier, écrire et évaluer une fonction définie par morceaux, étant donné à la fois l’équation de la fonction et la courbe représentative de la fonction.

Commençons par une définition. Une fonction définie par morceaux est une fonction composée de plusieurs morceaux de fonctions différentes. Et chaque morceau de la fonction est définie sur un intervalle donné. Par exemple, imaginons que nous ayons la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥, et que c’est une fonction définie par morceaux par 𝑥 plus un lorsque 𝑥 est strictement inférieur à trois et deux 𝑥 moins deux si 𝑥 est supérieur ou égal à trois. En d’autres termes, pour toutes les valeurs de 𝑥 jusqu’à 𝑥 égal à trois exclu, nous utiliserions la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 égal 𝑥 plus un. Ensuite, lorsque 𝑥 est égal ou supérieur à trois, nous utilisons la fonction d’expression deux 𝑥 moins deux. Et ainsi si nous voulons calculer l’image par la fonction d’une valeur spécifique de 𝑥, nous devons prendre soin de suivre ces règles.

Nous pouvons également tracer le graphique de cette fonction définie par morceaux. Jusqu’à 𝑥 égal trois, mais sans l’inclure, nous utilisons l’expression 𝑓 de 𝑥 égal 𝑥 plus un. La courbe représentative de cette fonction est celle indiquée. Notez que j’ai inclus un point vide en 𝑥 égal trois, et c’est parce que la fonction n’est pas définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus un ici. Elle est cependant définie en 𝑥 égal trois mais par l’expression deux 𝑥 moins deux. Et donc le graphique pourrait ressembler à quelque chose comme cela. Nous pourrions également inclure un point solide en 𝑥 égal trois pour montrer que la fonction est définie ici si l’on souhaite. Voyons un exemple sur la manière de calculer l’image par une fonction définie par morceaux d’une valeur donnée 𝑥.

Sachant que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥 moins deux si 𝑥 est strictement inférieur à moins six, moins neuf 𝑥 au carré moins un si 𝑥 est supérieur ou égal à moins six et inférieur ou égal à huit et moins cinq 𝑥 au cube plus quatre si 𝑥 est strictement supérieur à huit, calculer la valeur de 𝑓 de quatre.

Nous voyons que 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux, et elle est définie par trois expressions distinctes. Lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins six, nous utilisons l’expression 𝑓 de 𝑥 égal six 𝑥 moins deux. Lorsque 𝑥 est compris entre moins six et huit au sens large, nous utilisons l’expression moins neuf 𝑥 au carré moins un. Et lorsque 𝑥 est strictement supérieur à huit, nous utilisons l’expression 𝑓 de 𝑥 égal moins cinq 𝑥 au cube plus quatre. Maintenant, nous voulons calculer la valeur de 𝑓 de quatre. Et donc nous devons nous assurer que nous sélectionnons correctement l’expression que nous devons utiliser lorsque 𝑥 est égal à quatre. Bon, quatre est entre moins six et huit. Nous allons donc utiliser ce morceau de la fonction: 𝑓 de 𝑥 égal moins neuf 𝑥 au carré moins un.

Et donc, 𝑓 de quatre est calculé en substituant 𝑥 égal quatre dans cette expression. C’est moins neuf fois quatre au carré moins un. Maintenant, bien sûr, l’ordre des opérations, qui est parfois abrégé en PEMDAS ou BIDMAS, nous dit de commencer par déterminer la valeur du nombre élevé à un exposant. Donc, dans ce cas, nous commençons par calculer quatre au carré. C’est quatre fois quatre, soit 16. Et donc notre calcul devient moins neuf fois 16 moins un. Nous effectuons ensuite la multiplication dans ce calcul, en nous rappelant qu’un nombre négatif multiplié par un nombre positif est négatif. Nous obtenons moins 144 moins un. Moins 144 moins un égal moins 145. Et donc, étant donné la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 définie par morceaux, nous voyons que 𝑓 de quatre vaut moins 145.

Nous allons maintenant voir comment appliquer cette méthode, mais lorsque nous travaillons avec une composition de fonctions basée sur une fonction particulière définie par morceaux.

Considérons la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 plus quatre si 𝑥 est strictement supérieur à quatre, deux 𝑥 si 𝑥 est supérieur ou égal à moins un et inférieur ou égal à quatre, et moins trois si 𝑥 est strictement inférieur à moins un. Calculer 𝑓 de 𝑓 de deux.

𝑓 de 𝑓 de deux est une composition de fonctions. C’est une fonction d’une fonction. Nous allons commencer par regarder la fonction à l’intérieur en premier, nous allons donc commencer par considérer 𝑓 de deux. Et donc, notre fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux, et elle est définie par différentes expressions sur différents intervalles de 𝑥. On nous dit que lorsque 𝑥 est strictement supérieur à quatre il faut utiliser l’expression 𝑥 plus quatre. Lorsque 𝑥 est compris entre moins un et quatre au sens large, nous utilisons l’expression deux 𝑥. Et lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins un, nous utilisons l’expression 𝑓 de 𝑥 égal moins trois. Deux, bien sûr, se situe entre moins un et quatre, et nous allons donc utiliser le deuxième morceau de la fonction. Autrement dit, lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥.

Et ainsi, 𝑓 de deux est calculé en substituant deux dans cette équation. Nous obtenons deux fois deux, soit quatre. Nous avons donc calculé 𝑓 de deux, c’est quatre. Si nous remplaçons 𝑓 de deux par sa valeur de quatre, nous voyons que nous devons maintenant calculer 𝑓 de quatre. Et nous devons être très prudents ici. En fait, nous utilisons toujours le deuxième morceau de la fonction. Et c’est parce que nous n’utilisons le premier morceau de la fonction que lorsque 𝑥 est strictement supérieur à quatre. Quand 𝑥 est inférieur ou égal à quatre, nous utilisons l’expression deux 𝑥. Et ainsi une fois de plus, nous substituons notre valeur de 𝑥 dans l’expression 𝑓 de 𝑥 égal deux 𝑥, donc c’est deux fois quatre, ce qui est égal à huit. Étant donné notre fonction définie par morceaux, 𝑓 de 𝑓 de deux vaut huit.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment compléter un tableau de valeurs pour une fonction définie par morceaux.

Déterminez les valeurs manquantes du tableau pour la fonction définie par morceaux d’expression 𝑔 de 𝑥, qui est égale à deux puissance 𝑥 si 𝑥 est strictement inférieur à moins deux, trois puissance 𝑥 si 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux et strictement inférieur à trois ou deux puissance 𝑥 si 𝑥 est supérieur ou égal à trois. Et ainsi nous avons un tableau avec les valeurs de 𝑥, moins trois, zéro et trois.

Rappelez-vous, lorsque nous avons une fonction définie par différentes expressions en fonction de la valeur de 𝑥, nous l’appelons une fonction définie par morceaux. Et selon notre tableau, nous cherchons à calculer la valeur de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 vaut moins trois. C’est donc 𝑔 de moins trois. Nous voulons aussi trouver 𝑔 de zéro et 𝑔 de trois. Et donc nous devons faire très attention au morceau de la fonction que nous allons utiliser pour chaque valeur de 𝑥. Commençons par 𝑔 de moins trois. Ici, 𝑥 est égal à moins trois. Et ainsi, puisque moins trois est inférieur à moins deux, nous devons utiliser la première partie de notre fonction, c’est-à-dire deux puissance 𝑥.

Ainsi pour calculer 𝑔 de moins trois, nous allons substituer 𝑥 égal moins trois dans ce morceau de la fonction. Et nous obtenons 𝑔 de moins trois égal deux puissance moins trois. Et à ce stade, nous pourrions nous rappeler qu’une puissance d’exposant négatif est l’inverse d’une puissance d’exposant positif. Donc 𝑎 à la puissance moins 𝑏, par exemple, est un sur 𝑎 à la puissance 𝑏. Et cela signifie alors que deux à la puissance moins trois est un sur deux au cube, ce qui est égal à un sur huit. Et donc la première valeur de notre tableau est un huitième. Répétons ceci pour 𝑥 égal zéro.

Cette fois, zéro est compris entre moins deux et trois, nous allons donc utiliser le deuxième morceau de notre fonction. Et ainsi, 𝑔 de zéro est calculé en substituant 𝑥 égal zéro dans l’expression 𝑔 de 𝑥 égal trois puissance 𝑥. Donc, c’est trois puissance zéro. Maintenant, bien sûr, à ce stade, nous pourrions rappeler que tout ce qui est élevé à la puissance zéro est égal à un, donc 𝑔 de zéro est simplement égal à un. Et c’est la deuxième valeur dans notre tableau. Répétons ceci pour la troisième et dernière colonne de notre tableau.

Le troisième morceau de notre fonction définie par morceaux est utilisé lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à trois. Nous allons donc utiliser cette expression lorsque 𝑥 est égal à trois. Et cela signifie que 𝑔 de trois vaut deux au cube, ce qui est simplement égal à huit. Nous ajoutons donc huit dans la dernière partie de notre tableau. Les valeurs manquantes du tableau pour notre fonction définie par morceaux d’expression 𝑔 de 𝑥 sont un huitième, un et huit.

Nous allons maintenant examiner quelques exemples sur comment déterminer l’image par une fonction d’un point donné par sa courbe représentative.

Déterminer 𝑓 (0) en utilisant le graphique.

Regardons la courbe représentative de notre fonction. Ce doit être une fonction définie par morceaux, et c’est parce qu’elle est composée de morceaux de courbes de différentes fonctions sur différents intervalles pour 𝑥. Par exemple, prenons la première partie de la courbe ici. Cette partie est définie par une fonction particulière sur l’intervalle de moins 10 à moins huit. En fait, nous pourrions même définir cela comme l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite. Et c’est parce que le point solide nous dit qu’elle est définie en 𝑥 égal moins 10, mais ne l’est pas pour ce morceau de la fonction en 𝑥 égal moins huit. Ensuite, le deuxième morceau de la fonction nous permet de définir 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égal à moins huit avec le point solide ici.

Mais lorsque 𝑥 est égal à zéro, nous ne pouvons pas utiliser cette partie de la courbe pour déterminer 𝑓 de zéro. Le point vide nous indique qu’elle n’est pas définie sur cette partie de notre fonction. Alors, comment allons-nous déterminer 𝑓 de zéro ? Eh bien, lorsque 𝑥 est nul, nous recherchons un morceau de la fonction qui coupe l’axe des 𝑦. Nous avons déjà vu que cela ne peut pas être défini par cette partie de la courbe là, mais nous avons un point solide ici. Et donc, la fonction est bien définie lorsque 𝑥 est égal à zéro. Ce point a pour coordonnées zéro, quatre. Nous avons donc que 𝑓 de zéro doit être égal à quatre.

Prenons un autre exemple de ce type.

Déterminez 𝑓 de un.

Ici, nous voyons que la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 est définie par morceaux. Nous le savons parce qu’elle est constituée de courbes de deux fonctions différentes. La première partie de la courbe est définie sur l’intervalle entre moins deux et un. Mais bien sûr, ce cercle vide nous dit qu’elle n’est pas définie sur cette courbe à ce stade. Ensuite, la deuxième partie de la courbe est définie sur l’intervalle entre un et huit. Une fois de plus, le point vide nous dit qu’elle n’est pas définie en 𝑥 égal un sur cette partie de la courbe.

Alors, comment allons-nous déterminer 𝑓 de un ? Eh bien, nous ne pouvons pas le faire. 𝑓 de un n’est absolument pas défini d’après la courbe représentative. Il y a beaucoup de valeurs que nous pouvons trouver. Par exemple, 𝑓 de cinq est égal à un, tout comme 𝑓 de moins un. Mais 𝑓 de un n’est pas défini d’après la courbe représentative.

Dans cette vidéo, nous avons appris qu’une fonction définie par morceaux est une fonction formée de plusieurs morceaux de fonctions différentes. Nous avons vu que chaque fonction est définie sur un intervalle donné. Enfin, nous avons vu que nous pouvons déterminer l’image par une fonction définie par morceaux d’un point, en utilisant la courbe représentative ou ses morceaux de fonction indépendamment, mais nous devons faire attention à nous assurer que la fonction est bien définie en ce point.

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