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Vidéo de question : Appliquer des opérations sur des matrices pour trouver des inconnues Mathématiques

Déterminez les valeurs de 𝑥, 𝑦, 𝑘 et 𝑙 qui vérifient l’équation matricielle 𝑥 [−4 ; 6 et 10 ; 𝑘] + 𝑦 [−7 ; 𝑙 et 0 ; −5] + 4 [3 ; −1 et 10 ; -2] = 𝑂 ; où 𝑂 est la matrice nulle de dimension 2 × 2.

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Transcription de vidéo

Déterminez les valeurs de 𝑥, 𝑦, 𝑘 et 𝑙 qui vérifient l’équation matricielle. On donne 𝑥 multiplié par la matrice moins quatre, six, 10, 𝑘 plus 𝑦 multiplié par la matrice moins sept, 𝑙, zéro, moins cinq plus quatre multiplié par la matrice trois, moins un, 10, moins deux est égal à 𝑂, où 𝑂 est la matrice nulle de dimension deux fois deux.

Eh bien, la première chose que nous pouvons voir est que nous voulons en fait effectuer une multiplication de nos matrices par un scalaire parce que nous pouvons voir que chaque matrice a un scalaire. Nous avons 𝑥, 𝑦 et quatre. Maintenant, pour effectuer la multiplication par un scalaire, nous multiplions chaque élément de la matrice par le scalaire situé devant la matrice.

Lorsque cela sera fait avec notre première matrice, nous obtiendrons moins quatre 𝑥, six 𝑥, 10𝑥 et 𝑘𝑥. Ensuite, pour notre deuxième matrice, nous allons avoir moins sept 𝑦, 𝑙𝑦, zéro 𝑦 et moins cinq 𝑦. Ensuite, la troisième matrice est 12, moins quatre, 40, moins huit. Et puis tout cela est égal à 𝑂, où on nous dit que 𝑂 est la matrice nulle de dimension deux fois deux. Donc, ce que nous pouvons faire, c’est mettre cela à la place.

Alors maintenant, ce que nous pouvons faire, c’est en fait créer quatre équations. Et c’est parce que nous savons que moins quatre 𝑥 plus moins sept 𝑦 plus 12, car ce sont les éléments correspondants dans chacune de nos matrices du côté gauche, seront égaux à zéro. Et c’est parce que sur la droite la matrice correspondante est nulle, et c’est la même chose pour chacun des autres éléments de chacune de nos matrices.

Donc, comme nous l’avons dit, notre première équation va être moins quatre 𝑥 moins sept 𝑦 plus 12 égale zéro. Ensuite, pour notre deuxième équation, nous avons six 𝑥 plus 𝑙𝑦 moins quatre égale zéro. Ensuite, nous avons 10𝑥 plus zéro 𝑦 plus 40 égale zéro. Eh bien, nous pouvons ignorer le zéro 𝑦. Donc, il nous reste 10𝑥 plus 40 égale zéro. Ensuite, pour notre quatrième équation, nous avons 𝑘𝑥 moins cinq 𝑦 moins huit égale zéro. D’accord, super. Donc, nous avons nos quatre équations.

Alors maintenant, ce que nous voulons faire, c’est résoudre certaines d’entre elles pour trouver 𝑥, 𝑦, 𝑘 et 𝑙. Eh bien, la première qui semble être la plus facile à résoudre, parce qu’elle n’a qu’une seule variable, est l’équation trois. Eh bien, si nous avons 10𝑥 plus 40 égale zéro et soustrayons 40 de chaque côté de l’équation, nous obtenons 10𝑥 égale moins 40. Et puis en divisant par 10, nous obtenons 𝑥 égale moins quatre. D’accord, super. Donc, nous avons trouvé notre valeur 𝑥.

Eh bien, maintenant, ce que nous allons faire, c’est substituer notre valeur à 𝑥 dans l’équation un. Donc, quand nous faisons cela, ce que nous allons obtenir est moins quatre multiplié par moins quatre moins sept 𝑦 plus 12 égale zéro. Donc, cela va nous donner moins sept 𝑦 plus 28 égale zéro. Donc, si nous ajoutons sept 𝑦 de chaque côté de l’équation, nous obtenons 28 égale sept 𝑦. Et puis en divisant par sept, on obtient quatre égale 𝑦. Donc, nous avons maintenant découvert ce que vaut 𝑦.

Alors maintenant, ce que nous voulons faire c’est trouver 𝑘. Et pour trouver cela, nous allons substituer 𝑥 égale moins quatre et 𝑦 égale quatre dans l’équation quatre. Et quand nous faisons cela, nous obtenons moins quatre 𝑘 moins cinq multiplié par quatre moins huit égale zéro, ce qui nous donne moins quatre 𝑘 moins 28 égale zéro. Alors, nous pouvons ajouter 28 de chaque côté. Donc, nous obtenons moins quatre 𝑘 égale 28. Donc, si nous divisons par moins quatre, nous obtenons 𝑘 égale moins sept. D’accord, super. Maintenant, tout ce que nous devons faire c’est trouver 𝑙.

Eh bien, pour trouver 𝑙, ce que nous devons faire, c’est substituer 𝑥, 𝑦 et 𝑘 dans l’équation deux. Donc, quand nous faisons cela, nous obtenons six multiplié par moins quatre plus quatre 𝑙 moins quatre égale zéro, ce qui nous donne moins 28 plus quatre 𝑙 égale zéro. Ensuite, nous pouvons ajouter 28 de chaque côté de l’équation. Et nous obtenons quatre 𝑙 égale 28. Divisons par quatre et nous obtenons une valeur de 𝑙 égale à sept. Donc , ce que nous pouvons dire, est que les valeurs de 𝑥, 𝑦, 𝑘 et 𝑙 qui vérifient notre équation donnée sont moins quatre, quatre, moins sept et sept, respectivement.

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