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Vidéo de question : Utilisation de valeurs trigonométriques d’angles remarquables pour calculer des expressions trigonométriques Mathématiques

Trouvez la valeur de (1 + tan 60° tan 30°)/cos² 30°.

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Transcription de vidéo

Trouvez la valeur de un plus tangente de 60 degrés fois tangente de 30 degrés sur cosinus carré de 30 degrés.

Dans cette question, nous avons trois fonctions trigonométriques d’angles remarquables. Ce sont des valeurs à connaître par cœur. Heureusement, il existe un très bon moyen de les mémoriser. Nous traçons un tableau : sur le côté gauche, nous écrivons sinus 𝜃, cosinus 𝜃 et tangente 𝜃. En haut, nous écrivons 30 degrés, 45° et 60°. Les deux premières lignes sont très simples. Nous écrivons un, deux, trois, puis trois, deux, un. Nous les transformons ensuite en fractions avec un dénominateur de deux. La dernière étape consiste à prendre la racine carrée des numérateurs. Bien sûr, la racine carrée de un est simplement un.

Il n’est donc pas nécessaire de la mettre. Voilà les valeurs de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃 lorsque 𝜃 vaut 30°, 45° et 60°. Tangente 𝜃 n’est pas aussi simple mais pour la trouver, nous divisons les valeurs de sinus 𝜃 par les valeurs de cosinus 𝜃. Ainsi, par exemple, pour trouver la tangente de 30°, nous divisons un demi par racine de trois sur deux. Puisque les dénominateurs sont égaux, nous pouvons simplement diviser les numérateurs. Ainsi, la tangente de 30° est un sur racine de trois. Ensuite, la tangente de 45° est racine de deux sur racine de deux, ce qui vaut simplement un. Tangente de 60° égale racine de trois sur un, qui est la racine carrée de trois.

Voilà donc les valeurs de sinus, cosinus et tangente de 30°, 45° et 60°. Nous trouvons tangente de 60° dans ce tableau, soit racine carrée de trois. Nous nous intéresse ensuite à tangente de 30°. Cela donne donc un sur racine de trois. Pour trouver cosinus carré de 30°, nous prenons simplement le cosinus de 30° puis nous le mettons au carré. Alors, cosinus de 30° égale racine carrée de trois sur deux, donc cosinus carré de 30°, ou cosinus 30° au carré, est la racine carrée de trois sur deux au carré, ce qui vaut trois sur quatre. Rappelez-vous, ceci simplement parce que racine de trois au carré égale trois, et deux au carré égale quatre.

Utilisons ces valeurs dans l’expression initiale. Ainsi, nous obtenons un plus racine carrée de trois fois un sur racine carrée de trois sur trois quarts. Alors, racine carrée de trois fois un sur racine carrée de trois donne simplement un. Ainsi, nous obtenons deux sur trois quarts. Bien sûr, pour diviser par une fraction, on multiplie par l’inverse de cette fraction. Ainsi, nous prenons deux multiplié par quatre sur trois. Il peut être utile d’écrire deux comme deux sur un, puis de multiplier simplement les numérateurs et les dénominateurs. Une fois fait, nous constatons que la valeur de un plus tangente de 60 fois tangente de 30 sur cosinus carré de 30 est égale à huit sur trois.

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