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Vidéo de question : Détermination de l’énergie cinétique d’un corps se déplaçant entre deux points sous l’action d’une force étant donné les coordonnées des points et l’expression vectorielle de la force Mathématiques

Soient 𝐴 et 𝐵 deux points de coordonnées (−8, −8) et (9, −3). Un objet d’une unité de masse se déplace du point 𝐴 au point 𝐵 dans la direction de 𝐀𝐁 sous l’action de la force 𝐹, où 𝐅 = (6𝐢 + 7𝐣) unités de force. Sachant que l’objet commence son mouvement à partir du repos, utilisez la relation travail-énergie pour déterminer son énergie cinétique au point 𝐵.

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Transcription de vidéo

Les coordonnées des points 𝐴 et 𝐵 sont moins huit, moins huit et neuf, moins trois. Un corps de masse une unité se déplace de 𝐴 à 𝐵 dans la direction 𝐀𝐁 sous l’action de la force 𝐹, où 𝐅 est six 𝐢 plus sept 𝐣 unités de force. Sachant que l’objet commence son mouvement à partir du repos, utilisez la relation travail-énergie pour déterminer son énergie cinétique au point 𝐵.

Le principe du travail et de l’énergie stipule que le travail total effectué sur un objet est égal à la variation de l’énergie cinétique de cet objet. La variation de l’énergie cinétique d’un objet est la différence entre son énergie cinétique finale et son énergie cinétique initiale. Dans ce cas cependant, notre objet part de l’arrêt, donc son énergie cinétique initiale est nulle. Mais si l’énergie cinétique initiale est nulle, alors la variation totale de l’énergie cinétique n’est que l’énergie cinétique finale, qui est, en fait, l’énergie cinétique que l’on cherche. Cela signifie que pour trouver l’énergie cinétique finale, il suffit d’évaluer le côté gauche de l’expression dans le principe du travail et de l’énergie, c’est-à-dire de trouver le travail total effectué sur l’objet.

Le travail lui-même est l’énergie gagnée ou perdue par un objet lorsqu’il se déplace en présence d’une force externe. L’expression la plus simple pour le travail est la force fois la distance, qui est valable tant que la force est parallèle au déplacement de l’objet. Dans notre situation cependant, on nous donne un vecteur représentant la force. Et on nous dit aussi le début et la fin du mouvement de l’objet, et aussi que l’objet se déplace sur une trajectoire rectiligne entre ces deux points. Donc, si l’on veut utiliser l’expression force fois la distance, l’on doit s’assurer que le vecteur de force et la direction du mouvement sont bien parallèles. Ici, l’on a un système d’axes perpendiculaires et on a identifié les points initial et final 𝐴 et 𝐵, respectivement.

Le vecteur 𝐀𝐁, avec son origine au point 𝐴 et son extrémité au point 𝐵, est le vecteur que l’objet suit lorsqu’il se déplace. On appelle cela le vecteur de déplacement. Le vecteur de déplacement de tout mouvement a son origine sur la position initiale et son extrémité sur la position finale et représente le mouvement résultant de l’objet. En outre, sur ce schéma on a le vecteur force 𝐅 six 𝐢 plus sept 𝐣. Juste en regardant ce schéma, que l’on a soigneusement dessiné à l’échelle, l’on peut voir que 𝐅 et 𝐀𝐁 ne sont pas parallèles. Cela signifie que l’on doit exprimer la formule pour le travail d’une manière différente. La formule que l’on va utiliser est celle du produit scalaire de la force et du déplacement, c’est-à-dire le travail est égal au produit scalaire entre le vecteur force et le vecteur déplacement.

Cette formule est valable tant que la force est constante pour tout le mouvement. Et en fait, six 𝐢 plus sept 𝐣 est constante. Puisque le produit scalaire entre la force et le déplacement nous donne le travail et que le travail nous donne l’énergie cinétique que l’on veut calculer, tout ce que l’on doit faire est de calculer le produit scalaire de 𝐅 et 𝐀𝐁, le vecteur déplacement du mouvement. Bien sûr, pour faire ce produit scalaire, l’on doit tout d’abord trouver une expression pour le vecteur 𝐀𝐁. Pour trouver les composantes verticale et horizontale de ce vecteur, on doit considérer les changements des coordonnées verticales et horizontales entre les points 𝐴 et 𝐵. La variation verticale est une augmentation de moins huit à moins trois. Ceci est un changement total de plus cinq, et c’est dans le sens 𝐣.

La variation horizontale totale est la variation de moins huit à plus neuf. Ceci est une variation totale de 17, et c’est dans la direction 𝐢. Ainsi, le vecteur 𝐀𝐁 exprimé dans les directions des vecteurs unité 𝐢 et 𝐣 est 17𝐢 plus cinq 𝐣.

Ensuite, calculons le produit scalaire. Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on multiplie les composantes avec le même vecteur unité, puis on ajoute ces résultats. Donc, dans ce cas, le produit scalaire est six fois 17, le produit des composantes 𝐢, plus sept fois cinq, le produit des composantes 𝐣. Six fois 17 est 102, et sept fois cinq est 35. 102 plus 35 est égale à 137. Et c’est la valeur numérique du travail total effectué sur l’objet. Ensuite on peut donner des unités à cette réponse. Les unités pour la force sont les unités arbitraires de force, ce qui signifie simplement toute unité que l’on utilise pour la force. Par conséquent, notre réponse sera 137 unités de travail, car c’est le calcul du travail que l’on a fait à partir de la force mesurée dans les unités de force arbitraires.

Ce que cela signifie c’est simplement que l’unité de force détermine l’unité de travail. Par exemple, si l’on décide que la force est mesurée en newtons, l’unité de travail est le joule. Mais si l’on utilise une autre unité pour la force, on va avoir toujours la même réponse numérique, avec une unité différente pour le travail. Alors, rappelons-nous que le principe du travail et de l’énergie nous dit que l’énergie cinétique finale que l’on cherche est exactement le travail total effectué sur le système. L’énergie cinétique finale est donc de 137 unités de travail. Il convient également de mentionner que le principe du travail et de l’énergie garantit que les unités de travail sont exactement les mêmes que les unités d’énergie.

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