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Vidéo de question : Évaluer les puissances négatives d’une expression impliquant des racines cubiques de l’unité Mathématiques

Trouvez la valeur de (5 + 5𝜔 + 7𝜔²) ⁻⁴, où 𝜔 est une racine cubique complexe de l’unité.

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Transcription de vidéo

Trouvez la valeur de cinq plus cinq 𝜔 plus sept 𝜔 au carré le tout élevé à la puissance moins quatre, où 𝜔 est une racine cubique complexe de l’unité.

Dans cette question, on nous dit que le terme 𝜔 représente l’une des racines cubiques complexes de l’unité. Les racines cubiques de l’unité sont les solutions à la racine cubique de un. En d’autres termes, ce sont les nombres qui sont égaux à un lorsqu’ils sont élevés au cube. Une solution évidente à la racine cubique de un est un. Cependant, vous connaissez peut-être les deux autres solutions, qui sont moins un plus racine de trois 𝑖 le tout divisé par deux et moins un moins racine de trois 𝑖 le tout divisé par deux, où 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un.

Dans cette vidéo, nous n’entrerons pas dans le calcul de ces racines. Cependant, nous pouvons voir que nous avons un nombre réel et deux nombres complexes. Pour répondre à cette question, nous allons d’abord démontrer une propriété intéressante de ces deux racines complexes. Cette propriété est que le carré de l’une des racines cubiques complexes de l’unité est égal à l’autre racine cubique complexe de l’unité.

Pour le prouver, choisissons l’une des racines cubiques complexes de l’unité et nommons-la 𝜔. Nous commençons par mettre un demi en facteur puis, nous élevons le tout au carré pour trouver une équation pour 𝜔 au carré. Nous pouvons maintenant continuer, un demi au carré vaut un quart et nous développons les termes du binôme au carré à droite. Pour simplifier davantage, nous avons un quart multiplié par un moins deux racine de trois 𝑖 plus trois 𝑖 au carré.

En sachant que 𝑖 est la racine carrée de moins un, 𝑖 au carré doit être égal à moins un. Trois 𝑖 au carré doit donc être égal à moins trois. Nous avons maintenant 𝜔 au carré est égal à un quart multiplié par moins deux moins deux racine de trois 𝑖. En simplifiant par deux, nous pouvons réécrire 𝜔 au carré comme moins un moins racine de trois 𝑖, le tout divisé par deux.

Cela correspond bien à l’autre racine cubique complexe de l’unité. À ce stade, il convient de noter que la relation serait toujours vraie si nous choisissions à la place notre autre racine cubique complexe de l’unité comme 𝜔 d’origine. Bien que nous ne suivrions pas les mêmes étapes de calcul, si 𝜔 était égal à moins un moins racine de trois 𝑖 le tout divisé par deux, alors 𝜔 au carré serait égal à moins un plus racine de trois 𝑖 le tout divisé par deux.

Nous pouvons donc conclure que les trois racines cubiques complexes de l’unité peuvent être définies comme un, 𝜔 et 𝜔 au carré.

Revenons maintenant à l’expression donnée dans la question. La première chose que nous pouvons faire est de factoriser par cinq les deux premiers termes dans nos parenthèses. Ensuite, nous allons essayer de trouver une substitution qui nous aidera à continuer le calcul. Nous avons maintenant défini 𝜔 et 𝜔 au carré comme nos deux racines cubiques complexes de l’unité. Puisque nous connaissons la valeur de ces deux racines, nous pouvons écrire une équation de la somme de 𝜔 plus 𝜔 au carré.

Séparer nos deux fractions en leurs parties réelles et imaginaires nous permet de simplifier. Nous constatons que 𝜔 plus 𝜔 au carré est égal à moins un. Nous pouvons maintenant réorganiser cette équation et la rendre plus utile pour notre substitution. En ajoutant un et en soustrayant 𝜔 au carré des deux côtés, nous avons 𝜔 plus un ou un plus 𝜔 est égal à moins 𝜔 au carré.

Nous pouvons alors utiliser cette relation pour procéder à une substitution dans notre expression. Nous avons cinq multiplié par moins 𝜔 carré plus sept 𝜔 carré le tout élevé à la puissance moins quatre. Notre expression ne contient plus que des termes en 𝜔 au carré. Cela se simplifie en deux 𝜔 au carré élevé à la puissance moins quatre.

Ensuite, nous pouvons appliquer la puissance moins quatre à notre expression. Cela nous donne deux à la puissance moins quatre multiplié par 𝜔 au carré à la puissance moins quatre. En utilisant la règle des puissances des exposants, nous pouvons multiplier deux et moins quatre, ce qui donne deux à la puissance moins quatre multiplié par 𝜔 à la puissance moins huit.

Nous pouvons écrire deux à la puissance moins quatre comme un sur deux à la puissance quatre, c’est-à-dire un sur 16. Simplifier 𝜔 à la puissance moins huit est plus compliqué. Par définition, nous savons que mettre au cube une de nos racines cubiques de l’unité nous donnera un. Puisque 𝜔 est l’une de ces racines, nous savons que 𝜔 au cube est égal à un. Voyons donc ce qui se passe lorsque nous élevons 𝜔 au cube à une puissance entière 𝑛. Puisque un élevé à la puissance 𝑛 est toujours égal à un, nous pouvons dire que 𝜔 au cube élevé à n’importe quelle puissance 𝑛 sera également toujours égal à un.

Encore une fois, en utilisant la règle de puissance des exposants, nous avons 𝜔 à la puissance trois 𝑛 est égal à un. Compte tenu de ce fait, nous savons que multiplier un nombre par 𝜔 à la puissance trois 𝑛 équivaut à multiplier par un, le nombre restera donc inchangé. Si nous considérons le cas où 𝑛 égale trois, nous savons que 𝜔 à la puissance trois multipliée par trois, ou 𝜔 à la puissance neuf, est égal à un. Nous pouvons utiliser ceci pour simplifier 𝜔 à la puissance moins huit.

Nous allons construire une équation où nous multiplions 𝜔 à la puissance moins huit par 𝜔 à la puissance neuf. Cela équivaut à multiplier 𝜔 à la puissance moins huit par un, cela est donc toujours égal à 𝜔 à la puissance moins huit.

En utilisant une autre des lois sur les exposants, nous pouvons additionner les puissances. Puisque moins huit plus neuf est égal à un, nous voyons que 𝜔 à la puissance moins huit est égal à 𝜔. Nous pouvons maintenant substituer cela dans notre expression originale. Deux à la puissance moins quatre multiplié par 𝜔 à la puissance moins huit est égal à un seizième de 𝜔.

En utilisant nos connaissances sur les racines cubiques complexes de l’unité, nous avons trouvé que cinq plus cinq 𝜔 plus sept 𝜔 au carré le tout élevé à la puissance moins quatre est égal à un seizième de 𝜔.

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