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Vidéo de question : Déterminer la longueur de l’un des côtés d’un triangle en utilisant le théorème de la bissectrice Mathématiques

A l’aide de la figure ci-dessous, calculez la longueur de 𝐴𝐷 au centième près.

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Transcription de vidéo

A l’aide de la figure ci-dessous, calculez la longueur de 𝐴𝐷 au centième près.

Dans la figure ci-dessous, on a un triangle 𝐴𝐵𝐶 sur lequel sont indiquées les longueurs de deux côtés, 27 centimètres et 29 centimètres. On peut également voir que l’angle 𝐴𝐵𝐶 est droit. Et cet angle droit est divisé en deux par la droite 𝐵𝐷 car les angles 𝐶𝐵𝐷 et 𝐷𝐵𝐴 sont marqués égaux. Donc la droite 𝐵𝐷 est la bissectrice de l’angle 𝐴𝐵𝐶, qui est un angle intérieur de notre triangle, ce qui signifie qu’on va pouvoir appliquer le théorème de la bissectrice intérieure d’un triangle. D’après le théorème de la bissectrice intérieure d’un triangle, la bissectrice issue d’un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments dont le rapport des longueurs est égal au rapport des longueurs des côtés adjacents. Donc, d’après ce théorème, on peut écrire que 𝐴𝐷 sur 𝐶𝐷 est égal à 𝐴𝐵 sur 𝐶𝐵. Et comme on sait que les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐶𝐵 sont 27 et 29 centimètres respectivement, alors on peut dire que le rapport entre ces deux segments est de 27 pour 29. Et par conséquent, le rapport entre les longueurs de 𝐴𝐷 et 𝐶𝐷 est également de 27 pour 29.

Il faut bien noter que le théorème de la bissectrice ne nous dit pas que les longueurs sont égales. Dire que 𝐴𝐷 mesure 27 centimètres et 𝐶𝐷 29 centimètres serait mal interpréter le théorème. Le théorème de la bissectrice nous donne simplement un rapport. Et nous indique que le segment 𝐴𝐶 est divisé en deux selon ce rapport. Et puisque 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du segment 𝐴𝐶.

D’après le théorème de Pythagore, dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, l’hypoténuse est le segment 𝐴𝐶. Et les deux autres côtés mesurent 27 et 29 centimètres. Donc on remplace ces longueurs dans notre formule du théorème de Pythagore et on obtient que 27 au carré plus 29 au carré est égal à 𝐴𝐶 au carré.

En faisant les calculs du côté gauche, on obtient d’abord 729 plus 841 soit 1570. On peut ensuite prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation et on obtient alors que 𝐴𝐶 est égal à la racine carrée de 1570 centimètres. Notons ici qu’il est important de garder une valeur de 𝐴𝐶 aussi précise que possible, car il nous reste encore quelques calculs à faire pour finir de résoudre ce problème. Donc, lorsque la valeur de 𝐴𝐶 sera requise, on utilisera la racine carrée de 1570. Cependant, si on utilisait la calculatrice pour convertir cela en un nombre décimal, on obtiendrait environ 39,6232 centimètres. Si on préfère utiliser cette valeur décimale, il est important de la garder affichée sur la calculatrice sous sa forme exacte non arrondie, car notre réponse finale perdrait en précision si on arrondissait trop tôt.

On a maintenant déterminé que la longueur de 𝐴𝐶 est égale à la racine carrée de 1570 centimètres. Et on sait que le rapport entre les segments 𝐴𝐷 et 𝐶𝐷 est de 27 pour 29. On rappelle que notre objectif est de déterminer la longueur du segment 𝐴𝐷. Donc il s’agit maintenant d’un simple problème de rapports. Pour calculer la valeur de 𝐴𝐷, on a besoin de connaître la somme des deux parties du rapport. Donc on additionne 27 et 29, ce qui nous donne 56. On en déduit que 𝐴𝐷 est égal à 27 sur 56 multiplié par la longueur de 𝐴𝐶, soit la racine carrée de 1570. On peut maintenant utiliser la calculatrice pour déterminer la valeur décimale de 𝐴𝐶 et on obtient environ 19,104 centimètres. Pour obtenir notre réponse finale, on arrondit ce résultat au centième près comme demandé dans la question, et on obtient que 𝐴𝐷 mesure 19,10 centimètres au centième près.

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