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Vidéo de question : Interpréter les intégrales comme des aires sous les courbes Mathématiques

Le graphique suivant correspond à la courbe représentative de 𝑓(𝑥) = (1/4)(𝑥 - 2)²(𝑥 + 1). Calculez l’aire de la région colorée, en donnant votre réponse sous forme de fraction.

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Transcription de vidéo

Le graphique suivant correspond à la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale un quart fois 𝑥 moins deux au carré fois 𝑥 plus un. Calculez l’aire de la région colorée, en donnant votre réponse sous forme de fraction.

Pour calculer l’aire entre une courbe et l’axe des 𝑥, nous devons intégrer cette fonction par rapport à 𝑥. Dans ce cas, nous allons intégrer la fonction un quart fois 𝑥 moins deux au carré fois 𝑥 plus un par rapport à 𝑥. Et cela entre les limites deux et moins un, puisque ce sont les valeurs de 𝑥 qui représentent les limites supérieure et inférieure de l’aire requise.

Nous devons cependant être un peu prudents car intégrer une fonction dont l’aire se trouve sous l’axe des 𝑥 donnera une valeur négative. Dans ce cas, nous nous intéressons uniquement à la zone située au-dessus de l’axe des 𝑥. Donc, nous sommes bons pour intégrer ici. Et le moyen le plus simple d’intégrer cette fonction, à mon avis, est de distribuer les parenthèses. Nous pourrions utiliser la substitution 𝑢 égale 𝑥 moins deux, mais il est assez simple de regarder ces parenthèses. Alors, allons-y et faisons cela.

Nous commençons par distribuer 𝑥 moins deux le tout au carré. En nous rappelant que nous devons écrire cela comme le produit de deux parenthèses, 𝑥 moins deux et 𝑥 moins deux. La variable 𝑥 multipliée par 𝑥 donne 𝑥 au carré. Nous multiplions les termes extérieurs. Nous obtenons moins deux 𝑥. Ensuite, nous multiplions les termes intérieurs, et nous obtenons à nouveau moins deux 𝑥. Ensuite, en multipliant les derniers termes, nous obtenons plus quatre. Ainsi, nous pouvons voir 𝑥 moins deux le tout au carré est égal à 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre.

Nous allons ensuite multiplier cela par 𝑥 plus un, en faisant très attention à multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde. Une façon de le faire est d’utiliser la méthode de la grille. La variable 𝑥 multipliée par 𝑥 au carré donne 𝑥 au cube. Et 𝑥 au carré multiplié par un donne 𝑥 au carré. Ensuite, 𝑥 multiplié par moins quatre 𝑥 donne moins quatre fois 𝑥 au carré. Moins quatre 𝑥 multiplié par un donne moins quatre 𝑥. Et 𝑥 multiplié par quatre donne quatre 𝑥. Quatre multiplié par un donne quatre. Si nous collectons les termes similaires, nous pouvons voir que 𝑥 moins deux le tout au carré multiplié par 𝑥 plus un donne 𝑥 au cube moins trois 𝑥 au carré plus quatre.

Donc, nous devons en fait intégrer un quart de 𝑥 au cube moins trois 𝑥 carré plus quatre par rapport à 𝑥, entre les limites deux et moins un que nous avons évoquées plus tôt. En fait, chaque fois qu’une fonction de 𝑥 est multipliée par une constante, il est plus simple de mettre cette constante en dehors du symbole de l’intégration. Ceci est permis. Nous multiplierons simplement par un quart à la fin, plutôt qu’au début de nos calculs.

Intégrons 𝑥 au cube moins trois 𝑥 carré plus quatre. Pour intégrer 𝑥 au cube, nous ajoutons un à l’exposant. Cela nous donne 𝑥 à la puissance quatre. Nous divisons ensuite par la valeur de ce nouvel exposant. Ainsi, 𝑥 au cube devient 𝑥 à la puissance quatre divisé par quatre. Moins trois fois 𝑥 au carré devient moins trois fois 𝑥 au cube divisé par trois, ce qui est simplement moins 𝑥 au cube. Et quatre s’intègre en quatre 𝑥. N’oubliez pas que nous n’avons pas besoin de la constante d’intégration lors de l’intégration entre deux limites.

Nous devons simplement effectuer le calcul entre les limites deux et moins un. Donc, nous substituons deux et moins un dans notre expression et nous trouvons la différence entre les résultats. En utilisant la valeur deux, nous obtenons deux à la puissance quatre divisé par quatre, moins deux au cube, plus quatre multiplié par deux, ce qui donne quatre. Et la deuxième partie est moins un à la puissance quatre divisé par quatre, moins moins un au cube, plus quatre multiplié par moins un. Et cela se simplifie en moins 11 sur quatre. Et si nous tapons tout cela dans notre calculatrice, nous obtenons une réponse de 27 sur 16. Et donc, nous pouvons voir que la zone colorée est de 27 sur 16 unités carrées.

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