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Vidéo de question : Résolution de problèmes à plusieurs étapes impliquant la trigonométrie dans un triangle rectangle pour trouver une longueur inconnue Mathématiques

Sur la figure suivante, 𝐴𝐵 = 6, 𝐴𝐷 = 3 et 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 33°. Calculez la longueur de 𝐵𝐶. Arrondis ta réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Sur la figure suivante, 𝐴𝐵 est égal à six, 𝐴𝐷 est égal à trois et la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 est de 33 degrés. Calculez la longueur de 𝐵𝐶. Donnez votre réponse au centième près.

Tout d’abord, notons les informations présentes dans l’énoncé de la question sur le diagramme. Voyons maintenant de plus près ce diagramme. Il s’agit de deux triangles rectangles partageant un même côté commun, 𝐵𝐷. Dans le triangle de gauche, on nous a donné les longueurs de deux côtés. Dans le triangle de droite, on nous a donné seulement la mesure d’un angle.

Le côté qu’on nous a demandé de calculer, 𝐵𝐶, se trouve dans le deuxième triangle sur lequel nous n’avons actuellement qu’une seule information. Pour trouver ce côté, nous allons avoir besoin d’au moins deux informations sur le triangle auquel il appartient. Nous allons donc devoir utiliser le fait que les triangles ont en commun le côté 𝐵𝐷.

Commençons par le triangle 𝐴𝐵𝐷. Comme nous l’avons déjà dit, il s’agit d’un triangle rectangle. Et nous connaissons la longueur de deux de ses côtés. Par conséquent, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore afin de calculer la longueur du troisième côté. Le théorème de Pythagore nous dit que dans ce triangle, 𝐵𝐷 au carré plus trois au carré est égal à six au carré. Et c’est une équation que nous pouvons résoudre afin de trouver la longueur de 𝐵𝐷.

Les calculs de trois au carré et de six au carré nous permettent d’écrire que 𝐵𝐷 au carré plus neuf est égal à 36. En soustrayant neuf des deux membres de cette équation nous avons que 𝐵𝐷 au carré est égal à 27. Pour cette dernière étape, nous appliquons la racine carrée aux deux membres de l’équation obtenant ainsi que 𝐵𝐷 est égal à la racine carrée de 27.

Je pourrais maintenant l’évaluer comme un nombre décimal, mais ce serait une valeur arrondie et donc une valeur inexacte. Je vais donc le garder sous la forme d’une racine pour le moment. Alors maintenant, nous connaissons la longueur de 𝐵𝐷. Tournons notre attention vers le second triangle, c’est à dire le triangle de droite. Mis à part l’angle droit, nous connaissons maintenant un angle et un côté. Et nous cherchons à calculer la longueur d’un deuxième côté de ce triangle.

Nous pouvons utiliser la trigonométrie pour le faire. La première étape consiste à désigner les trois côtés du triangle relativement à l’angle de 33 degrés. Donc 𝐵𝐶 est l’hypoténuse, 𝐶𝐷 est le côté adjacent et 𝐵𝐷 est le côté opposé. Rappelez-vous que c’est 𝐵𝐶 que nous cherchons à calculer. Nous connaissons la longueur du côté opposé, 𝐵𝐷. Et nous cherchons à calculer l’hypoténuse.

Donc, si nous nous souvenons de l’acronyme SOHCAHTOA, ceci nous dit que nous devons utiliser le rapport trigonométrique sinus. Le rapport trigonométrique sinus est défini comme le sinus d’un angle 𝜃 et est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse. Maintenant, remplaçons par les valeurs de ce triangle. Nous avons que le sinus de 33 degrés est égal à la racine de 27 sur 𝐵𝐶.

C’est pourquoi j’ai conservé cette valeur sous la forme d’une racine carrée plutôt que de l’évaluer en tant que nombre décimal, car je savais que je l’utiliserai dans la prochaine étape du calcul. Maintenant, nous voulons résoudre cette équation afin de trouver la valeur de 𝐵𝐶. Je vais donc tout d’abord multiplier par 𝐵𝐶 car il est actuellement au dénominateur d’une fraction.

Ceci me donne que 𝐵𝐶 multiplié par le sinus de 33 degrés est égal à la racine de 27. Ensuite, je dois diviser les deux membres de l’équation par sinus de 33 degrés qui n’est qu’un nombre. Nous avons donc que 𝐵𝐶 est égal à la racine de 27 sur sinus de 33 degrés.

Maintenant, je peux évaluer ceci en utilisant ma calculatrice. Et c’est en fait la première fois dans cette question où j’ai besoin d’utiliser une calculatrice. Cela donne une valeur de 9.54054 suivie d’autres chiffres. Dans la question, on nous a demandé de donner notre réponse au centième près. Nous devons donc arrondir cette valeur.

Nous avons donc que la longueur de 𝐵𝐶 au centième près est 9.54. Et il n’y a pas d’unités pour cette longueur car la question initiale ne mentionne aucune unité.

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