Vidéo de question : Utiliser la loi des sinus pour calculer toutes les mesures possibles d'un angle dans un triangle Mathématiques

Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶 tel que 𝑎 = 3 cm, 𝑏 = 9 cm, et 𝑚∠𝐴 = 10°. Déterminez toutes les valeurs possibles de ∠𝐵, au degré près.

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Transcription de vidéo

Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶 tel que 𝑎 égale trois centimètres, 𝑏 égale neuf centimètres, et la mesure de l'angle 𝐴 est de 10 degrés. Déterminez toutes les valeurs possibles de l'angle 𝐵, au degré près.

Puisque nous avons les longueurs des deux côtés de notre triangle, ainsi que la mesure de l'un des angles, on peut utiliser la loi des sinus pour calculer la mesure du deuxième angle. Cette loi stipule que sinus 𝐴 sur 𝑎 égale sinus 𝐵 sur 𝑏, qui est égal à sinus 𝐶 sur 𝑐, où les majuscules 𝐴, 𝐵, et 𝐶 sont les mesures des trois angles du triangle et les minuscules 𝑎, 𝑏, et 𝑐 sont les longueurs des côtés opposés.

Avant de substituer nos valeurs dans la loi des sinus, il convient de préciser combien de triangles existent à partir des mesures données. Si l'angle 𝐴 est aigu, comme dans ce cas, et que la hauteur du triangle ℎ est inférieure à la longueur du côté 𝑎, qui est inférieure à la longueur du côté 𝑏, alors deux triangles existent. On peut calculer la hauteur ℎ en utilisant un triangle rectangle et le rapport des sinus. Or, sinus 10 degrés égale ℎ sur neuf. Si on multiplie par neuf, on trouve que ℎ égale neuf fois sinus 10 degrés. En saisissant ce résultat dans notre calculatrice, on obtient ℎ égale 1,5628 etc...

La hauteur de notre triangle est donc de 1,56 centimètre au centième près. Cela signifie que ℎ est inférieure à 𝑎, qui est inférieure à 𝑏. Cela confirme qu'il y a deux triangles possibles 𝐴𝐵𝐶. Et par conséquent, il y a deux mesures possibles de l'angle 𝐵. En substituant nos mesures dans la loi des sinus, on obtient que sinus 10 degrés sur trois égale sinus 𝐵 sur neuf. En multipliant par neuf, sinus 𝐵 sera égal à neuf fois sinus 10 degrés, le tout divisé par trois. En saisissant le membre de gauche dans notre calculatrice, on obtient sinus 𝐵 égale 0,5209 etc...

On peut ensuite prendre la fonction réciproque du sinus des deux côtés de cette équation. Cela nous donne 𝐵 égale 31,39 etc... On nous demande de donner notre réponse au degré près. Par conséquent, une mesure possible de l'angle 𝐵 est 31 degrés. Comme le sinus de 180 degrés moins thêta est égal à sinus thêta, il existe une autre valeur de 𝐵 pour laquelle sinus 𝐵 est égal à 0,5209 etc... En soustrayant 31 degrés de 180 degrés, on obtient 149 degrés. Cela signifie que la deuxième mesure possible de l'angle 𝐵 est de 149 degrés.

Il y a deux triangles possibles 𝐴𝐵𝐶 qui peuvent être formés à partir des mesures données dans la question. Et ils existent lorsque la mesure de l'angle 𝐵 égale 31 degrés et 149 degrés.

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