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Vidéo de question : Calcul de l’angle entre deux vecteurs Mathématiques

Sachant que 𝐀 = 4𝐢 − 𝐣 − 2𝐤 et 𝐁 = 〈2, −2, 4〉, déterminez, au centième près, la mesure du plus petit angle compris entre les deux vecteurs.

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Transcription de vidéo

Sachant que le vecteur 𝐀 égale quatre 𝐢 moins 𝐣 moins deux 𝐤 et que le vecteur 𝐁 égale deux, moins deux, quatre, déterminez, au centième près, la mesure du plus petit angle entre les deux vecteurs.

Remarquons tout d’abord que les deux vecteurs fournis par l’énoncé utilisent une notation différente. Le vecteur 𝐀 est égal à quatre 𝐢 moins 𝐣 moins deux 𝐤. Nous pouvons écrire le vecteur 𝐁 sous la même forme, deux 𝐢 moins deux 𝐣 plus quatre 𝐤. Rappelons que le cosinus de l’angle 𝜃 entre deux vecteurs est égal au produit scalaire des vecteurs divisé par le produit des normes des deux vecteurs. Nous calculons le produit scalaire des deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 en multipliant leurs coefficients de 𝐢, leurs coefficients de 𝐣 et leurs coefficients de 𝐤. Nous calculons ensuite la somme de ces trois nombres.

Quatre multiplié par deux égale huit. Moins un multiplié par moins deux égale plus deux. Moins deux multiplié par quatre égale moins huit. Ajouter ce nombre revient à retrancher huit. Huit plus deux égale 10 et en retranchant huit, nous obtenons deux. Cela donne la valeur du produit scalaire. La norme d’un vecteur se calcule à l’aide de la formule racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré, où 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les coefficients de 𝐢, 𝐣 et 𝐤, respectivement.

La norme du vecteur 𝐀 dans cette question est égale à la racine carrée de quatre au carré plus moins un au carré plus moins deux au carré. Ceci est égal à la racine carrée de 21. De même, la norme du vecteur 𝐁 est égale à deux au carré plus moins deux au carré plus quatre au carré. Ceci est égal à la racine carrée de 24. Nous pouvons maintenant utiliser ces trois valeurs dans la formule.

Le cosinus de 𝜃 est égal à deux divisé par la racine carrée de 21 multipliée par la racine carrée de 24. Nous pouvons alors calculer l’angle 𝜃 en prenant la réciproque du cosinus de deux divisé par la racine carrée de 21 multipliée par la racine carrée de 24. Nous obtenons 84,8889 etc. On nous demande d’arrondir au centième près. Ceci revient à arrondir à deux décimales. Puisque huit est supérieur à cinq, nous arrondissons au centième supérieur.

La mesure de l’angle entre les deux vecteurs est de 84,89 degrés.

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