Vidéo question :: Utiliser la loi des sinus pour calculer toutes les mesures possibles d'un angle dans un triangle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶 tel que 𝑎 égale cinq centimètres, 𝑏 égale huit centimètres et la mesure de l'angle 𝐴 égale 36 degrés. Si le triangle existe, déterminez toutes les valeurs possibles de l'angle 𝐵 à la seconde près.

Dans cette question, on nous dit que la mesure de l'angle 𝐴 dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 égale 36 degrés. On va commencer par dessiner une illustration de ce triangle. On nous indique que la longueur du côté 𝑏 égale huit centimètres et que la longueur du côté 𝑎 égale cinq centimètres. Donc si nous plaçons un compas réglé sur cinq centimètres au point 𝐶 et que nous traçons un arc de cercle, celui-ci couperait la base 𝐴𝐵 en deux points. Cela signifie que le sommet 𝐵 pourrait se trouver au point marqué 𝐵 ou 𝐵 prime, comme indiqué. Nous avons donc deux triangles possibles en bleu et en orange où l'angle 𝐵 a deux mesures, comme indiqué.

Une autre méthode pour montrer qu'il y a deux triangles possibles serait de calculer la valeur de la hauteur ℎ. On peut le faire en utilisant nos connaissances de la trigonométrie dans un triangle rectangle et le rapport du sinus. On rappelle que sinus thêta égale l'opposé sur l'hypoténuse. Dans notre triangle rectangle, sinus 36 degrés égale la hauteur ℎ sur huit. En multipliant par huit, on obtient ℎ égale huit fois sinus 36 degrés. Ce qui donne 4,702 ainsi de suite. Et à une décimale près, la hauteur de notre triangle est de 4,7 centimètres.

Cette valeur est inférieure à la longueur du côté 𝑎 et nous ramène à une règle générale. Si l'angle 𝐴 est aigu et que la hauteur ℎ est inférieure à la longueur du côté 𝑎, qui est inférieure à la longueur du côté 𝑏, alors il existe deux triangles possibles 𝐴𝐵𝐶.

On peut maintenant trouver les deux valeurs possibles de l'angle 𝐵 en utilisant la loi des sinus. Celle-ci stipule que sinus 𝐴 sur 𝑎 égale sinus 𝐵 sur 𝑏, qui est égale à sinus 𝐶 sur 𝑐, où les majuscules 𝐴, 𝐵, et 𝐶 sont les mesures des trois angles et les minuscules 𝑎, 𝑏, et 𝑐 sont les longueurs qui leur sont opposées. En substituant les valeurs de cette question, nous avons sinus 𝐵 sur huit égale sinus 36 degrés sur cinq. Si on multiplie les deux côtés de notre équation par huit, on obtient sinus 𝐵 égale huit fois sinus 36 degrés divisée par cinq. Ce qui est égal à 0,9404 etc...

L'étape suivante consiste à prendre la fonction réciproque du sinus des deux côtés de notre équation. Et 𝐵 est donc égale 70,1283 etc... Il s'agit de la mesure de l'angle 𝐵 en degrés. Mais on nous demande de donner notre réponse à la seconde près. Une façon de convertir cela serait d'appuyer sur le bouton degrés, minutes et secondes de notre calculatrice. Cela nous donne 70 degrés, sept minutes et 42,04 secondes, ce qui donne 70 degrés, sept minutes et 42 secondes.

On peut aussi multiplier la partie décimale de notre réponse par 60, car il y a 60 minutes dans un degré. Cela nous donne 70 degrés et 7,7007 minutes etc... Là encore, on multiplie la partie décimale par 60, car une minute comporte 60 secondes. On obtient donc 70 degrés, sept minutes et 42,04 secondes, en arrondissant à la seconde près : 70 degrés, sept minutes et 42 secondes.

Cela correspond à l'angle du triangle orange. Rappelant que sinus 180 degrés moins thêta égale sinusthêta, on peut trouver la deuxième valeur possible de l'angle 𝐵 en soustrayant 70 degrés, sept minutes et 42 secondes de 180 degrés. Cette valeur est égale à 109 degrés, 52 minutes et 18 secondes. Puisque cet angle est obtus, il correspond à l'angle 𝐵 dans le triangle bleu que nous avons dessiné. On peut donc conclure que les deux valeurs possibles de l'angle 𝐵 à la seconde près sont 70 degrés, sept minutes et 42 secondes et 109 degrés, 52 minutes et 18 secondes.