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Vidéo de question : Déterminer les composantes inconnues de la ligne d’action d’une force connaissant son vecteur et le moment autour du point dans un espace à trois dimensions Mathématiques

Le moment de la force 𝐹 par rapport à l'origine est 𝑀₀, avec 𝐹 = 𝑖 - 2𝑗 - 𝑘 et 𝑀₀ = 20𝑖 + 27𝑗 - 34𝑘. Sachant que la force passe par un point dont la coordonnée 𝑦 vaut 4, déterminez les coordonnées 𝑥 et 𝑧 du point.

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Transcription de vidéo

Le moment de la force 𝐹 par rapport à l'origine est 𝑀 indice zéro, avec 𝐹 égal à 𝑖 moins deux 𝑗 moins 𝑘 et 𝑀 indice zéro égal à 20𝑖 plus 27𝑗 moins 34𝑘. Sachant que la force passe par un point dont l’ordonnée 𝑦 vaut 4, déterminez les coordonnées 𝑥 et 𝑧 du point.

Nous pouvons commencer par faire un schéma représentant la force dans un système d’axes à trois dimensions. Selon l’énoncé, nous savons qu’il existe une force appelée 𝐹 agissant en un point que nous pouvons appeler 𝑃. Les coordonnées de 𝑃 ne sont connues que partiellement. Nous savons que la valeur de 𝑦 vaut quatre, mais nous devons déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑧. La force 𝐹 agissant au point 𝑃, à une certaine distance de l’origine, crée ainsi un moment autour de l’origine, 𝑀 indice zéro. Comme 𝑀 zéro agit autour de l’origine, nous pouvons définir 𝑃, non seulement comme un point de l’espace, mais aussi comme un vecteur qui relie 𝐹 à 𝑀 indice zéro.

En utilisant cette notation, nous pouvons maintenant rappeler une relation qui relie 𝑀 zéro, 𝑃 et 𝐹. Le produit vectoriel de deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 est égal au déterminant de cette matrice, où les colonnes sont les directions 𝑖, 𝑗 et 𝑘. Et les deux dernières lignes sont respectivement les composantes des vecteurs 𝐴 et 𝐵. Si nous appliquons cette relation dans notre situation, nous pouvons dire que 𝑀 zéro est égal à 𝑃 vectoriel 𝐹, qui peut également être écrit comme le déterminant de cette matrice. Lorsque nous considérons les deux dernières lignes de cette matrice, nous pouvons les remplir par ces composantes de 𝑃 et 𝐹. 𝑃𝑖 correspond à 𝑥, 𝑃𝑗 vaut quatre et 𝑃𝑘 correspond à 𝑧. Et 𝐹𝑖 vaut un, 𝐹𝑗 vaut moins deux et 𝐹𝑘 vaut moins un.

Nous cherchons à déterminer les composantes inconnues de 𝑃, 𝑥 et 𝑧. Et rappelons-nous que nous connaissons les trois composantes. Nous avons toutes les informations sur 𝑀 zéro. Nous pouvons commencer par déterminer 𝑥 en calculant la composante 𝑘 de 𝑀 zéro. Cette composante, que nous pouvons appeler 𝑀 indice zéro 𝑘, est égale à moins deux fois 𝑥 moins quatre fois un. Et en regardant cette expression de 𝑀 zéro, nous voyons que cette composante 𝑘 vaut moins 34. Donc, moins 34 est égal à moins deux 𝑥 moins quatre. Soit, 𝑥 est égal à moins 30 sur moins deux, ce qui est égal à 15. C’est la valeur de la coordonnée 𝑥 de 𝑃.

Maintenant que nous avons déterminé la valeur de 𝑥, nous avons juste besoin de déterminer la composante 𝑧 de 𝑃. Pour cela, regardons la composante 𝑖 de 𝑀 zéro. 𝑀 zéro 𝑖 est égal à quatre fois moins un moins moins deux fois 𝑧, que nous pouvons simplifier en deux 𝑧 moins quatre. Donc 𝑀 zéro 𝑖 est égal à 20. Et lorsque nous résolvons cette équation pour déterminer 𝑧, nous obtenons 24 sur deux, soit 12. C’est la valeur de la coordonnée 𝑧 de 𝑃. Nous connaissons maintenant les trois coordonnées de ce point.

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