Vidéo : Indiquer si une série géométrique donnée est convergente ou divergente

Est-ce que la série 884 + 884/9 + 884/81 + _ est convergente ou divergente ?

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Transcription de vidéo

Est-ce que la série 884 plus 884 sur neuf plus 884 sur 81 plus ainsi de suite est convergente ou divergente ?

Tout d’abord, pensons à notre série. Notre premier terme est 884, notre deuxième terme est 884 sur neuf et notre troisième terme est 884 sur 81. Je peux écrire le premier terme comme 884 sur un, et on aperçoit qu’à chaque fois le dénominateur est multiplié par neuf. Une fois neuf est neuf. Neuf fois neuf est 81. Et voilà essentiellement le modèle que vous trouvez en observant une série géométrique.

Si nous appelons notre premier terme 𝑎, alors on peut voir que notre premier terme est 884 sur un ou simplement 884, et la raison 𝑟, mais nous multiplions à chaque fois le dénominateur par neuf. Donc en fait, nous multiplions le terme entier par un sur neuf, un neuvième. Donc nous avons une série géométrique avec comme premier terme 884 et comme raison un neuvième.

Le mot « convergente » dans ce contexte signifie que si l’on additionne un nombre infini de termes dans cette série, alors cette somme ne dépassera pas une certaine valeur. Et le mot « divergente » dans ce contexte signifie que si l’on additionne un nombre infini de termes dans notre série, alors plus on ajoute des termes, cette somme augmente de plus en plus. Donc nous devons additionner les termes de la série. Maintenant, si nous avons 𝑛 termes dans notre série que nous allons additionner, la somme de 𝑛 termes 𝑆𝑛 est égale au premier terme 𝑎 fois un moins la raison 𝑟 à la puissance 𝑛 le tout sur un moins la raison.

Donc dans notre cas, la somme de 𝑛 termes sera 884 fois un moins un neuvième à la puissance 𝑛 le tout sur un moins un neuvième. Un moins un neuvième est huit neuvièmes. Le dénominateur de huit neuvièmes, cela signifie le dénominateur divisé par huit neuvièmes que l’on peut réarranger comme ça. Maintenant neuf fois 884 est 7956. Et le 7956 et le huit s’annulent en bas aussi. Donc la somme de 𝑛 termes est 1989 fois un moins un neuvième à la puissance 𝑛 le tout sur deux.

Et la question importante est, qu’est-ce qui arrive lorsque 𝑛 tend vers l’infini et qu’on a un nombre infini de termes dans notre suite, que deviendra la somme à l’infini ? En fait, plus on multiplie un neuvième par lui-même, plus on s’approche de zéro. Donc avec 𝑛 devenant infini, ce terme ici s’approchera de plus en plus de zéro. Donc ce terme ici un moins zéro deviendra un. Donc notre somme à l’infini s’approchera de plus en plus de 1989 sur deux. Cela signifie que ça sera une série convergente.

Et voici notre réponse, la série est convergente. Maintenant une autre façon de découvrir cela avec une suite géométrique, c’est de juste penser à la valeur de 𝑟. Parce que pour la somme de 𝑛 termes d’une série géométrique, si la raison 𝑟 est comprise entre moins un et un, alors la série est certainement convergente. Mais si 𝑟 est inférieure à moins un ou si 𝑟 est supérieure à un, alors la série est divergente.

En fait, si 𝑟 est égale à un, alors la série est aussi divergente. Et ça sera une somme oscillante si 𝑟 égale moins un. Parce que ça dépendra du nombre de termes que vous prenez ; vous prenez un terme puis vous soustrayez ce même terme puis vous additionnez ce terme puis vous soustrayez ce même terme. De toute façon, dans notre cas, la raison 𝑟 est comprise entre moins un et un, et donc c’est une série convergente.

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