Vidéo : Dérivation des fonctions réciproques

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver les dérivées des fonctions réciproques.

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Dérivation des fonctions réciproques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver la dérivée des fonctions réciproques. Et nous couvrirons une variété d’exemples de la façon dont nous pouvons le faire. Commençons par récapituler quelques informations sur les fonctions réciproques.

Soit 𝑓 une fonction de domaine 𝑈 et d’image 𝑉, donc 𝑓 va de 𝑈 vers 𝑉. Nous appelons la fonction 𝑔, qui va de 𝑉 vers 𝑈, la réciproque de 𝑓, si pour tout 𝑦 dans 𝑉, 𝑓 de 𝑔 de 𝑦 est égal à 𝑦. Et pour tout 𝑥 dans 𝑈, 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥. Ce que cette définition nous dit, c’est que si une fonction 𝑓 a une réciproque et que nous appliquons à la fois 𝑓 et la réciproque à une valeur. Ensuite, nous obtiendrons la valeur elle-même. Maintenant, si la fonction 𝑔 de cette définition existe, alors nous pouvons dire que 𝑓 est bijective et 𝑔 est la réciproque de 𝑓. Nous pouvons également dénoter la fonction réciproque comme celle-ci avec 𝑓 moins un en exposant.

Cependant, nous devons veiller à ne pas confondre cela avec 𝑓 moins un. Puisqu’ils sont complètement différents malgré une notation similaire. S’il y a moins un en exposant à côté d’une fonction, cela signifie la réciproque. Mais si c’est à côté d’une variable ou d’une constante, cela signifie la puissance moins un. Une autre chose à noter est que si 𝑓 est la réciproque de 𝑔, alors 𝑔 est également la réciproque de 𝑓. Considérons maintenant le graphe d’une fonction 𝑓.

Maintenant, nous savons que nous pouvons trouver la courbe de la réciproque de cette fonction en la reflétant par la droite 𝑦 égale 𝑥, qui est cette droite ici. Notre fonction inverse ressemblera donc à ceci. Ce que nous voulons faire ici, c’est trouver la dérivée de la fonction inverse. Maintenant, la dérivée est la fonction de la pente de la courbe. Et une façon de trouver la pente à un point donné est de trouver la tangente à ce point, puis de trouver la pente de la tangente. Trouvons la tangente à 𝑓 à une certaine 𝑥 valeur, que nous pouvons appeler 𝑎. Maintenant, les coordonnées du point où nous prenons la tangente seront 𝑎 𝑓 de 𝑎. Cependant, nous pouvons également appeler 𝑓 de 𝑎 𝑏 de telle sorte que le point auquel nous prenons la tangente soit à 𝑎, 𝑏.

Maintenant, cela nous donne que 𝑓 de 𝑎 est égal à 𝑏. Maintenant, nous devons en quelque sorte relier ce point à la fonction inverse de 𝑓. Si nous appliquons ici 𝑓 moins un des deux côtés, nous obtiendrons que 𝑓 moins un de 𝑓 de 𝑎 est égal à 𝑓 moins un de 𝑏. Cependant, en raison de la définition d’une fonction inverse, nous savons que 𝑓 moins un de 𝑓 de 𝑎 est égal à 𝑎. Cela nous donne que 𝑓 moins un de 𝑏 est égal à 𝑎. Trouvons ce point sur 𝑓 moins un de 𝑥. Et nous pouvons trouver la tangente à 𝑓 moins un de 𝑥 à ce point. Maintenant, il semble que nos tangentes de 𝑓 de 𝑥 à 𝑎, 𝑏 et 𝑓 moins un de 𝑥 à 𝑏, 𝑎 soient des réflexions l’une de l’autre dans la droite 𝑦 égale 𝑥. Et cela aurait du sens, puisque 𝑓 de 𝑥 est un reflet de 𝑓 moins un de 𝑥 dans la droite 𝑦 est égal à 𝑥. Et le point 𝑎, 𝑏 est le reflet du point 𝑏, 𝑎 dans la droite 𝑦 est égal à 𝑥.

Maintenant, ce qui nous intéresse ici, c’est cette fonction de pente de 𝑓 moins un de 𝑥. Considérons donc la pente de ces deux tangentes. Appelons la tangente de 𝑓 de 𝑥 𝐿 un et la tangente de 𝑓 moins un de 𝑥 𝐿 deux. On peut appeler l’équation de 𝐿 un 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐. Maintenant, une réflexion dans la droite 𝑦 égale 𝑥 correspond à une fonction de 𝑥, 𝑦 allant à 𝑦, 𝑥. Par conséquent, l’équation de la droite 𝐿 deux est, 𝑥 est égal à 𝑚𝑦 plus 𝑐. Et nous pouvons réorganiser cette équation pour faire de 𝑦 le sujet, nous donnant que 𝑦 est égal à un sur 𝑚𝑥 moins 𝑐 sur 𝑚.

Une autre chose qui nous intéresse ici, ce sont les pentes de ces deux tangentes. Nous pouvons voir que la pente de la tangente à 𝑓 de 𝑥 est 𝑚. Et la pente de la tangente à 𝑓 moins un de 𝑥 est un sur 𝑚. Puisque 𝑚 est la pente de la tangente en 𝑎, 𝑏, elle peut également être définie comme la pente de 𝑓 en 𝑥 est égale à 𝑎. Et donc, nous avons que 𝑚 est égal à 𝑓 prime de 𝑎. Un sur 𝑚 représente la pente de la tangente à 𝑓 moins un de 𝑥 à 𝑏, 𝑎. C’est donc la pente de 𝑓 moins un à 𝑥 égal à 𝑏. On peut donc dire que la dérivée de 𝑓 moins un à 𝑏 est égale à une sur 𝑚. Cependant, nous venons de découvrir que 𝑚 est égal à 𝑓 prime de 𝑎. Donc, cela peut être remplacé. Et cela nous donne notre résultat. Et c’est que si 𝑓 de 𝑎 est égal à 𝑏, alors la dérivée de la réciproque de 𝑓 à 𝑏 est égale à une sur la dérivée de 𝑓 à 𝑎. Ce qui, bien sûr, n’a de sens que si 𝑓 prime de 𝑎 est différent de zéro.

Maintenant, nous n’avons pas prouvé ce résultat rigoureusement. Puisque nous avons seulement basé le fait que les tangentes sont des reflets les uns des autres hors de l’intuition. Ce résultat peut cependant être prouvé en utilisant la règle de chaîne. Si nous avons une fonction 𝑓 avec une fonction inverse 𝑔, alors par la définition de la fonction inverse, 𝑓 de 𝑔 de 𝑦 est égal à 𝑦. Maintenant, si nous utilisons la règle de chaîne pour dériver les deux côtés de cette équation par rapport à 𝑦. Nous obtiendrons alors que 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑦 multiplié par 𝑔 prime de 𝑦 est égal à un. En réarrangeant, nous obtenons notre résultat. C’est-à-dire que 𝑔 prime de 𝑦 est égal à un sur 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑦. Ceci est assez souvent également écrit dans la notation de Leibniz. Ce qui nous dit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur d𝑥 sur d𝑦. Appliquons maintenant ces définitions à quelques exemples.

Étant donné que 𝑥 est égal à 𝑒 à la puissance de 𝑦, trouvez d𝑦 sur d𝑥, donnant votre réponse en termes de 𝑥.

On peut commencer par dériver 𝑥 par rapport à 𝑦. En utilisant le fait que la dérivée d’une exponentielle n’est que l’exponentielle, on obtient que d𝑥 sur d𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance de 𝑦. Maintenant, nous essayons de trouver la dérivée de la fonction réciproque, donc c’est 𝑦, par rapport à 𝑥. C’est donc d𝑦 sur d𝑥. Et pour ce faire, nous pouvons utiliser le fait que la dérivée d’une inverse d’une fonction est égale à la réciproque de la dérivée de la fonction. Nous donnant que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur d𝑥 sur d𝑦. Pour l’utiliser, nous devons nous assurer que le dénominateur de notre fraction n’est pas nul. C’est donc d𝑥 sur d𝑦.

Nous venons de découvrir que d𝑥 sur d𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance de 𝑦. Puisque 𝑒 de 𝑦 est une exponentielle, nous savons que 𝑒 à la puissance de 𝑦 va être supérieur à zéro pour toutes les valeurs de 𝑦. Par conséquent, il est différent de zéro. Et donc, nous pouvons utiliser cette formule. Et donc, on obtient que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur 𝑒 à la puissance de 𝑦. Cependant, la question nous a demandé de donner notre réponse en termes de 𝑥. Afin d’obtenir notre réponse en termes de 𝑥, nous pouvons utiliser le fait que 𝑥 est égal à 𝑒 à la puissance de 𝑦 et substituer 𝑥 pour 𝑒 à la puissance de 𝑦. De là, nous arrivons à notre solution, qui est que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur 𝑥.

Arrêtons-nous rapidement pour réfléchir à ce que nous montrons ici. Notre fonction d’origine est 𝑥 est égal à 𝑒 à la puissance de 𝑦. On peut faire de 𝑦 le sujet de cette équation. Nous prenons simplement des bûches naturelles des deux côtés. Cela nous donne que 𝑦 est égal au logarithme naturel de 𝑥. Et c’est la réciproque de la fonction donnée dans la question. Maintenant, nous avons trouvé d𝑦 sur d𝑥. Puisque 𝑦 est égal au logarithme naturel de 𝑥, d𝑦 sur d𝑥 est la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 par rapport à 𝑥. Par conséquent, nous venons de montrer que la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égal à un sur 𝑥.

Nous allons maintenant considérer un autre exemple.

Étant donné que 𝑥 est égal à 𝑦 à la puissance cinq plus la racine carrée de 𝑦 plus la racine cubique de 𝑦 au carré, trouvez d𝑦 sur d𝑥.

On peut trouver d𝑦 sur d𝑥 en utilisant la formule de la dérivée de la fonction inverse. C’est-à-dire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur d𝑥 sur d𝑦. Nous commençons donc par dériver 𝑥 par rapport à 𝑦. Commençons par réécrire certains termes en 𝑥. Nous pouvons réécrire la racine carrée de 𝑦 comme 𝑦 à la puissance d’un demi et la racine cubique de 𝑦 au carré comme 𝑦 à la puissance de deux sur trois. Maintenant, nous pouvons utiliser la règle de puissance pour la dérivation afin de dériver 𝑥 par rapport à 𝑦, terme par terme.

Nous multiplions par la puissance et diminuons la puissance d’une unité. Cela nous donne que d𝑥 sur d𝑦 est égal à cinq 𝑦 à la puissance quatre plus un demi 𝑦 à la puissance moins un demi plus deux tiers 𝑦 à la puissance moins un tiers. Nous pouvons réécrire ces puissances fractionnaires de 𝑦 dans leur forme radicale. Et puis, nous pouvons combiner ces trois termes en une fraction en créant un dénominateur commun de six 𝑦. Notre premier terme devient 30𝑦 à la puissance cinq sur six 𝑦. Notre deuxième terme devient trois multiplié par la racine carrée de 𝑦 sur six 𝑦. Et notre troisième terme devient quatre multiplié par la racine cubique de 𝑦 au carré sur six 𝑦. On obtient que d𝑥 sur d𝑦 est égal à 30 multiplié par 𝑦 à la puissance cinq plus trois multipliée par la racine carrée de cinq plus quatre multipliée par la racine cubique de 𝑦 au carré sur six 𝑦.

Maintenant, nous pouvons appliquer la formule pour la dérivée de la fonction inverse. Et cela nous donne notre solution que d𝑦 sur d𝑥 est simplement la réciproque de d𝑥 sur d𝑦.

Parfois, on peut nous demander de trouver la dérivée de la fonction réciproque en un point donné. Nous devons faire attention en quel point nous évaluons la fonction, comme le montre l’exemple suivant.

Soit 𝑓 de 𝑥 égal à un demi 𝑥 cube plus un demi 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 moins quatre et soit 𝑔 la réciproque de 𝑓. Étant donné que 𝑓 sur deux est égal à 12, que vaut 𝑔 prime de 12 ?

Afin de nous aider à trouver 𝑔 prime de 12, nous pouvons utiliser la formule pour les dérivées des fonctions réciproques. Cela nous dit que si 𝑔 est la fonction inverse de 𝑓, alors 𝑔 prime de 𝑦 est égal à un sur 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑦. Commençons par trouver 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥. Nous pouvons voir que 𝑓 est un polynôme. Par conséquent, afin de trouver sa dérivée, nous pouvons le dériver terme par terme en utilisant la règle de puissance pour la dérivation. Nous multiplions simplement par la puissance et diminuons la puissance d’une unité. Cela nous donne que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à trois sur deux 𝑥 au carré plus 𝑥 plus cinq.

Ensuite, nous allons observer le fait que nous essayons de trouver 𝑔 prime de 12. Et donc, nous pouvons substituer 𝑦 est égal à 12 dans notre formule pour 𝑔 prime de 𝑦. Cela nous donne que 𝑔 prime de 12 est égal à un sur 𝑓 prime de 𝑔 de 12. Maintenant, nous ne savons pas ce qu’est 𝑔 de 12. Cependant, on nous a donné dans la question que 𝑓 de deux est égal à 12. Et puisque 𝑔 est la fonction inverse de 𝑓, nous pouvons appliquer 𝑔 des deux côtés ici. Et nous obtiendrons que 𝑔 de 12 est égal à deux. Cela est dû au fonctionnement des fonctions réciproques. Si nous prenons 𝑔 de 𝑓 de deux, nous en obtiendrons simplement deux.

Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur de 𝑔 de 12 dans notre équation par 𝑔 prime de 12. Et nous obtenons qu’elle est égale à un sur 𝑓 prime de deux. Maintenant, nous avons déjà trouvé 𝑓 prime de 𝑥. Nous pouvons donc simplement substituer 𝑥 égal à deux afin de trouver 𝑓 prime de deux. Et nous obtenons que 𝑓 prime de deux est égal à 13. Et en substituant la valeur de 𝑓 prime de deux à 𝑔 prime de 12, nous obtenons que 𝑔 prime de 12 est égal à un sur 13.

Maintenant, notre définition originale de la dérivée d’une fonction réciproque supposait que la réciproque existait. Nous allons maintenant couvrir ce qu’on appelle le théorème de la fonction inverse, qui est plus puissant que notre définition d’origine. Puisqu’il garantit l’existence et la continuité de la réciproque d’une fonction lorsqu’elle est continûment dérivable avec une dérivée non nulle.

Le théorème des fonctions réciproques

Soit 𝑓 une fonction continûment dérivable avec une dérivée non nulle en un point 𝑎. Alors le théorème des fonctions réciproques nous dit que : Premièrement, 𝑓 admet une réciproque dans un voisinage de 𝑎. Deuxièmement, 𝑓 a une inverse continûment dérivable dans un voisinage de 𝑎. Troisièmement, la dérivée de la réciproque au point 𝑏 est égale à 𝑓 de 𝑎 est égale à l’inverse de la dérivée de 𝑓 à 𝑎. C’est-à-dire que la dérivée de la réciproque de 𝑓 de 𝑏 est égale à un sur la dérivée de 𝑓 de 𝑎.

Tout ce dont nous avons besoin pour utiliser ce théorème est que 𝑓 soit dérivable continûment et ait une dérivée non nulle en un point donné 𝑎. Maintenant, la preuve de ce théorème dépasse le cadre de cette vidéo. Nous ne le couvrirons donc pas ici.

Nous allons maintenant poursuivre et examiner d’autres exemples.

Si 𝑓 de deux 𝜋 est égal à moins un, 𝑓 prime de deux 𝜋 est égal à un, et 𝑎 est égal à moins un, trouvez la dérivée de la réciproque de 𝑓 en 𝑎.

Nous utiliserons le fait que la dérivée de la réciproque de 𝑓 en 𝑎 est égale à un sur 𝑓 prime de 𝑓 moins un de 𝑎. Dans notre cas, 𝑎 est égal à moins un. Nous devons commencer par trouver 𝑓 moins un de moins un. On nous donne à la question que 𝑓 sur deux 𝜋 est égal à moins un. Puisque nous savons que 𝑓 moins un est la fonction inverse de 𝑓, cela nous indique que 𝑓 moins un de moins un est égal à deux 𝜋. Nous pouvons donc remplacer cela dans notre équation. Et maintenant, nous avons que la dérivée de 𝑓 moins un est égale à un sur 𝑓 prime de deux 𝜋. Et nous pouvons voir que nous avons effectivement été donné 𝑓 prime de deux π dans la question. Et c’est égal à un.

Nous pouvons donc remplacer cela par. Et nous avons atteint notre solution, qui est que la dérivée de la fonction inverse de 𝑓 en moins un est égale à un.

Nous allons maintenant examiner un dernier exemple.

Soit 𝑔 la réciproque de 𝑓. À l’aide du tableau ci-dessous, trouvez 𝑔 prime de zéro.

Afin de trouver 𝑔 prime de zéro, nous utiliserons la formule pour trouver la dérivée d’une inverse d’une fonction. Ce qui nous dit que 𝑔 prime de 𝑦 est égal à un sur 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑦. Nous essayons de trouver 𝑔 prime de zéro. On peut donc substituer à zéro 𝑦. Cela nous donne que 𝑔 prime de zéro est égal à un sur 𝑓 prime de 𝑔 de zéro. Le tableau montre que lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑔 est égal à moins un. Et donc, nous avons que 𝑔 de zéro est égal à moins un. Dans lequel nous pouvons substituer pour nous donner que 𝑔 prime de zéro est égal à un sur 𝑓 prime de moins un.

Et maintenant, nous pouvons simplement lire 𝑓 prime de moins un dans le tableau. Puisque lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑓 prime est égal à un tiers. Nous donnant que 𝑓 prime de moins un est égal à un tiers. Et encore une fois, cela peut être substitué. Et donc, nous obtiendrons que 𝑔 prime de zéro est égal à l’inverse d’un tiers. Et ici, nous arrivons à notre solution de trois.

Nous avons maintenant appris les dérivées des fonctions réciproques. Et nous avons vu une variété d’exemples de leur fonctionnement. Récapitulons quelques points clés de cette vidéo.

Points clés

Étant donné une fonction continûment dérivable 𝑓 avec une dérivée non nulle en un point 𝑎. La dérivée de la réciproque de la fonction en 𝑏, qui est égale à 𝑓 de 𝑎, est la dérivée de la réciproque de 𝑓 en 𝑏 est égale à un sur la dérivée de 𝑓 en 𝑎. Ceci est souvent écrit avec la notation de Leibniz comme d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur d𝑥 sur d𝑦. Nous devons faire attention aux points que nous utilisons.

En utilisant ces équations, nous pouvons trouver des dérivées de nombreuses fonctions réciproques familières, telles que le logarithme naturel. Le théorème des fonctions réciproques garantit l’existence de la réciproque d’une fonction continue autour de points avec des dérivées non nulles. En utilisant ce théorème, nous pouvons trouver les dérivées des fonctions réciproques. Même lorsque nous ne pouvons pas trouver de formule explicite pour la réciproque.

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