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Vidéo de la leçon : Décomposer des forces Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes de décomposition de forces dans deux directions.

19:25

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à résoudre des problèmes de décomposition de forces dans deux directions. On peut rappeler qu’une force est une interaction qui peut changer le mouvement d’un objet. Nous les décrivons souvent comme des forces de poussée ou de traction, mais elles représentent bien plus que cela. Nous nous intéressons principalement à la manière dont nous pouvons prendre une seule force et la transformer en composantes, c’est-à-dire en forces partielles. Ces composantes sont souvent perpendiculaires les unes aux autres, mais parfois ce n’est pas le cas. Nous allons donc utiliser la trigonométrie des triangles rectangles en plus de la trigonométrie sans angle droit pour nous aider à faire cela. Nous allons commencer par un exemple très simple pour voir à quoi ce processus pourrait ressembler.

Décomposez une force de 81 newtons en deux composantes perpendiculaires, 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux, comme indiqué sur la figure. Donnez votre réponse correcte à deux décimales près.

Nous avons une figure qui montre une force de 81 newtons agissant selon un angle de 54 degrés par rapport à l’horizontale. On nous dit aussi que 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux, qui sont des composantes de notre force de 81 newton, sont perpendiculaires. Cela signifie bien sûr qu’elles se rencontrent à un angle de 90 degrés, à angle droit. Alors, comment cela nous aide-t-il à calculer les valeurs de 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux?

Bien, une bonne méthode que nous pouvons utiliser consiste à ajouter un triangle rectangle à notre diagramme. Puisque les deux droites verticales sont parallèles et que 𝐹 indice deux est lui-même une composante de la force de 81 newton, nous pouvons dire que la longueur de la droite verticale que nous avons ajoutée à notre diagramme doit être égale à l’intensité de 𝐹 indice deux. Et donc, puisque nous avons un triangle rectangle pour lequel nous connaissons la mesure de l’une de ses longueurs et deux de ses angles, nous pouvons utiliser la trigonométrie à angle droit.

Notre angle est de 54 degrés et notre hypoténuse est de 81 newtons. Le côté opposé à l’angle mesurant 54 degrés est 𝐹 indice deux et le côté adjacent est 𝐹 indice un. Nous allons commencer par calculer la mesure de 𝐹 indice un. Puisque 𝐹 indice un est la longueur du côté adjacent et que nous connaissons la longueur de l’hypoténuse, nous allons utiliser le rapport cosinus ici. Le cosinus de 𝜃 est le côté adjacent divisé par l’hypoténuse. Et en utilisant tout ce que nous savons sur notre triangle dans cette formule, nous obtenons cosinus de 54 degrés égale 𝐹 indice un sur 81. Nous allons trouver 𝐹 indice un en multipliant par 81. Et donc 𝐹 indice un est 81 fois cosinus de 54, ce qui donne 47,610. A deux décimales près, 𝐹 indice un est 47,61 newtons.

Répétons ce processus pour 𝐹 indice deux. Cette fois, nous essayons de trouver le côté opposé de notre triangle. Et donc nous allons utiliser le rapport sinus, avec sin 𝜃 est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse. Maintenant, puisque à ce stade, nous connaissions déjà deux longueurs, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Mais nous obtiendrons la même réponse de toute façon. Cette fois, nous avons une équation sinus de 54 égale 𝐹 indice deux sur 81. Encore une fois, nous trouvons 𝐹 indice deux en multipliant les deux côtés par 81. Donc, 𝐹 indice deux est 81 fois le sinus de 54, ce qui donne 65,530. A deux décimales près, 𝐹 indice deux est 65,53 newtons. Nous avons donc trouvé la force de 81 newtons agissant sous un angle de 54 degrés par rapport à l’horizontale en deux composantes perpendiculaires.

Maintenant, si nous y réfléchissons, il est logique que les mesures de 𝐹 un et 𝐹 deux soient inférieures à 81. Lorsque nous cherchons une force, nous la divisons en ses composantes, ou bien en différentes parties. Donc 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux font partie de la force de 81 newtons. Et donc ils doivent avoir une valeur inférieure.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment trouver les composantes d’une force quand elles n’agissent pas à angle droit les unes par rapport aux autres.

Une force d’intensité 41 newtons agit plein sud. Elle est composée de deux composantes, comme indiqué sur la figure. Trouvez les intensités de 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux. Donnez votre réponse à deux décimales près.

Commençons par ajouter notre force de 41 newtons au schéma. Elle agit plein sud, donc comme ceci. Cette force est elle-même ensuite décomposée en deux parties ou composantes. Ce sont 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux. Maintenant, vous remarquerez peut-être que ces deux composantes sont données sous forme vectorielle. Mais en fait, nous essayons de trouver leur intensité. L’intensité du vecteur est essentiellement sa longueur. Et donc nous voulons trouver ces deux dimensions ici. Et ce que nous pourrions essayer de faire, c’est ajouter des triangles rectangles à notre figure.

Mais ce n’est pas particulièrement facile à faire ici puisque les forces 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux n’agissent pas à angle droit. Donc, à la place, nous dessinons quelque chose appelé le parallélogramme des forces. Nous traçons des droites parallèles à 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux, créant donc un parallélogramme. La force de 41 newtons agissant plein sud constitue alors la diagonale de ce parallélogramme. Nous pouvons donc utiliser les résultats relatifs aux angles pour compléter certaines des mesures manquantes.

Nous savons que les angles alternes sont égaux, nous pouvons donc ajouter un angle de 45 degrés ici et un angle de 60 degrés ici. Nous savons également que les angles d’un triangle se somment à 180 degrés. Donc, en soustrayant 45 et 60 de 180, nous trouvons les deux angles manquants dans nos triangles. Agrandissons le triangle sur le côté gauche, reliant la force de 41 newtons et 𝐅 indice deux. Nous avons un triangle non rectangle pour lequel nous connaissons la mesure des trois angles et de l’un des côtés. Cela signifie que pour trouver la mesure d’un deuxième côté, nous pouvons utiliser la loi des sinus.

En nommant les longueurs et angles de notre triangle comme indiqué, nous voyons que nous allons relier 𝑎 avec sinus 𝐴 à 𝑏 avec sinus 𝐵. En utilisant ce que nous savons de notre triangle dans la formule, nous voyons que l’intensité de 𝐅 indice deux divisé par sinus de 60 est égal à 41 sur sinus de 75. Pour résoudre cette équation pour trouver l’intensité de 𝐅 indice deux - remarquez que j’ai écrit cela avec des barres - nous multiplions par le sinus de 60. Et donc l’intensité de 𝐅 indice deux est 41 divisé par sinus de 75 multiplié par sinus de 60, cela donne 36,759 etc. A deux décimales près, la valeur de 𝐅 indice deux est de 36,76 newtons.

Nous allons répéter ce processus pour trouver l’intensité de 𝐅 indice un. Maintenant, pour ce faire, nous pourrions répéter le processus et redessiner le triangle du côté droit. Cependant, nous savons que ce côté, le côté appelé 𝐴𝐵, sur le triangle que nous avons dessiné est parallèle au côté qui représente la composante vectorielle 𝐅 indice un. En fait, comme il s’agit d’un parallélogramme, il est également de même longueur. Et donc, si nous calculons la longueur du segment 𝐴𝐵, cela nous dira l’intensité de 𝐅 indice un. Cette fois, nous relions 𝑏 et sinus 𝐵 avec 𝑐 et sinus 𝐶. Et donc notre équation est 41 sur sinus 75 égal à l’intensité de 𝐅 indice un sur sinus 45.

Pour trouver 𝐅 indice un, nous allons multiplier les deux côtés par sin de 45 degrés. Et donc l’intensité de 𝐅 indice un est 41 sur le sinus de 75 fois le sinus de 45, ce qui donne 30,014. Corrigé au centième près, cela donne 30,01. Et donc l’intensité de 𝐅 indice un est de 30,01 newtons et l’intensité de 𝐅 indice deux est de 36,76 newtons.

Maintenant, une compétence clé est de pouvoir prendre les informations de la question et construire votre propre diagramme de forces. Voyons à quoi cela ressemble lorsque nous travaillons avec un autre parallélogramme de forces.

L’angle entre deux forces, 𝑎 un et 𝑎 deux, est de 75 degrés. Leur résultante est de 2900 newtons et fait un angle de 45 degrés avec 𝑎 un. Trouvez les forces 𝑎 un et 𝑎 deux. Donnez vos réponses à deux décimales près.

Avant de faire quoi que ce soit, nous allons commencer par dessiner un diagramme de forces. Voici nos deux forces 𝑎 un et 𝑎 deux, qui se croisent avec un angle de 75 degrés. Ensuite, nous avons cette force résultante de 2900 newtons qui fait un angle de 45 degrés avec 𝑎 un. Rappelez-vous, la force résultante est simplement la force unique que nous obtenons en combinant un système de forces, ici 𝑎 un et 𝑎 deux. Notre travail consiste à trouver les forces 𝑎 indice un et 𝑎 indice deux. Nous allons donc ajouter quelques éléments à notre figure.

Tout d’abord, nous ajoutons des droites parallèles à celles représentant les forces 𝑎 un et 𝑎 deux. Cela nous donne un parallélogramme. Nous savons donc que non seulement les côtés opposés sont parallèles, mais sont également de même longueur. Et cela sera utile plus tard. Ensuite, nous utilisons le fait que les angles alternes sont égaux. Et cet angle doit être de 45 degrés. Ensuite, en soustrayant 45 de 75, nous obtenons deux angles de 30 degrés. Le troisième angle est trouvé en soustrayant 45 et 30 de 180 degrés, puisque la somme des angles dans un triangle donne 180 degrés. Et nous voyons donc que le troisième angle dans nos deux triangles est de 105 degrés.

Séparons nos triangles. Et nous voyons que nous avons affaire à deux triangles non rectangles identiques. Nous avons une longueur de 2900 dans les deux triangles. Et puis nous avons 𝑎 indice un ici. Et puisque nous avons dit que les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur, nous avons 𝑎 indice deux ici.

Puisque nous connaissons la mesure de tous les angles de notre triangle et de l’une de ses longueurs, nous pouvons utiliser la loi des sinus pour trouver les deux autres. Notons les sommets et angles de notre triangle comme indiqué. Et pour commencer, nous allons calculer la valeur de 𝑎 indice un. Cela signifie que nous voulons que 𝑎 sur sinus 𝐴 soit égal à 𝑐 sur sinus 𝐶. En utilisant tout ce que nous savons de notre triangle dans cette formule, nous avons 𝑎 indice un sur sin de 30 degrés est égal à 2900 sur le sinus de 105. Nous allons multiplier les deux côtés par le sinus de 30 pour trouver la valeur de 𝑎 indice un. Et donc 𝑎 indice un est 2900 sur sinus de 105 fois sinus de 30, ce qui est, à deux décimales près, égale à 1 501,15. Donc, 𝑎 indice un est 1 501,15 newtons.

Libérons de l’espace et effectuons le même processus pour trouver 𝑎 indice deux. Cette fois, nous allons utiliser 𝑏 sur sin 𝐵 égale à 𝑐 sur sin 𝐶. En utilisant cela dans la formule, nous voyons que nous pouvons trouver 𝑎 indice deux en multipliant les deux côtés par le sinus de 45. Et 𝑎 indice deux est alors 2900 sur sinus de 105 fois sinus de 45. Et cela, à deux décimales près, donne 2 122,95. 𝑎 indice un est 1 501,15 newtons, et 𝑎 indice deux est 2 122,95 newtons.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment trouver le poids d’un objet reposant sur un plan incliné en le décomposant en deux composantes dans deux directions.

Un objet pesant 72 newtons est placé sur un plan incliné à 45 degrés par rapport à l’horizontale. Décomposez son poids en deux composantes 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux, avec 𝐹 indice un la composante dans la direction du plan et 𝐹 indice deux la composante normale au plan.

Pouvoir modéliser des objets reposant sur un plan va être très important pour travailler avec les lois du mouvement de Newton. Donc, pour voir comment cela fonctionne, nous allons commencer par dessiner un schéma de l’objet reposant sur un plan. Voici un objet reposant sur un plan incliné d’un angle de 45 degrés. L’objet a un poids de 72 newtons. Et c’est essentiellement la force vers le bas qu’il exerce sur le plan en raison de la gravité.

Maintenant, généralement, nous cherchons à ajouter des forces supplémentaires au diagramme. Mais en fait, nous sommes juste intéressés par la décomposition de cette force de 72 newtons en deux composantes, 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux. On nous dit en fait que 𝐹 indice un est la composante dans la direction du plan. Essentiellement, c’est la composante du poids qui agit parallèlement au plan. Alors, 𝐹 indice deux est la composante normale au plan. C’est la composante de notre poids qui est perpendiculaire au plan. Et nous pouvons donc ajouter ces deux forces comme indiqué.

Maintenant, en fait, vous pourriez être habitué à voir 𝐹 indice un ici. Elle est parallèle et de la même longueur que la ligne que nous avons tracée sur notre triangle. Et donc 𝐹 indice un aura la même valeur dans les deux positions. Maintenant, en fait, 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux sont perpendiculaires l’un à l’autre. Nous avons donc un triangle rectangle dans lequel nous connaissons la longueur de l’hypoténuse. Soit 72 newtons. Cela signifie que si nous pouvons trouver la mesure d’un autre angle dans notre triangle, nous pouvons utiliser la trigonométrie à angle droit pour décomposer notre poids en composantes 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux. En d’autres termes, nous pouvons trouver des expressions et des valeurs pour 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux.

Maintenant, pour trouver un autre angle, nous allons dessiner un triangle rectangle légèrement plus grand. Dans ce triangle, nous voyons que nous avons un angle droit au point où l’objet rencontre le plan. Nous avons également un angle de 45 degrés. Cela signifie en fait que nous avons un triangle rectangle isocèle. Mais nous pourrions également calculer l’autre angle en calculant 180 moins 90 moins 45. Nous voyons que cet angle ici est de 45 degrés.

Maintenant, nous savons que les 72 newtons agissent verticalement vers le bas. Et donc cette force doit agir sous un angle de 90 degrés par rapport à l’horizontale. Cela signifie que nous pouvons déterminer cet angle ici. Nous avons un triangle rectangle avec un angle de 90 et un autre de 45. Et donc 180 moins 90 moins 45 donne 45 degrés. Et donc nous connaissons maintenant un autre angle dans le triangle rectangle qui nous intéressait. En fait, il sera toujours vrai que l’angle selon lequel le plan est incliné par rapport à l’horizontale sera le même que cet angle ici. Donc, agrandissons le triangle que nous examinons pour le rendre un peu plus facile à comprendre.

Nous avons maintenant un triangle rectangle pour lequel nous connaissons l’un des côtés et la mesure de l’un de ses angles. Nous allons utiliser la trigonométrie à angle droit pour trouver la valeur de 𝐹 un et 𝐹 deux. Cette longueur de 72 newtons est l’hypoténuse. Ensuite, 𝐹 indice un est la longueur opposée et 𝐹 indice deux est l’adjacente. Pour trouver 𝐹 indice un, nous allons utiliser le rapport des sinus. Nous savons que 𝐹 indice un est la longueur opposée et nous connaissons la longueur de l’hypoténuse. On peut donc dire que sinus de 45 degrés doit être égal à 𝐹 indice un sur 72. Et pour trouver la valeur de 𝐹 indice un, nous allons multiplier les deux côtés par 72. Cela nous donne que 𝐹 indice un est 72 fois le sinus de 45.

Mais en fait, nous pouvons dire que le sinus de 45 est racine de deux sur deux. Donc, cela devient 72 racine de deux sur deux, soit 36 racine de deux, et cela en newtons. Nous avons alors deux options possibles pour calculer la valeur de 𝐹 indice deux. Nous pourrions utiliser le rapport des cosinus. En faisant cela, nous trouverions que 𝐹 indice deux est 72 fois cosinus de 45, ce qui correspond également à 36 racine de deux ou 36 racine de deux newtons. Nous aurions également pu remarquer que nous travaillons avec un triangle rectangle isocèle. Et donc 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux doivent absolument avoir la même longueur. 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux sont 36 newtons racine de deux.

Nous pourrions même choisir d’utiliser le théorème de Pythagore pour vérifier notre réponse. En additionnant les carrés de 36 racine de deux et 36 racine de deux, puis en trouvant la racine carrée de cette valeur, nous obtenons alors une valeur de 72 newtons comme prévu. Maintenant, nous pouvons généraliser un peu cette idée, bien qu’il soit utile de pouvoir voir d’où viennent ces valeurs. Pour un objet au repos sur un plan incliné de 𝜃 par rapport à l’horizontale avec un poids de newtons, la composante du poids qui agit parallèlement au plan sera toujours sinus 𝜃, alors que la composante du poids qui agit perpendiculairement au plan sera toujours cosinus 𝜃.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons vu que pour trouver une force avec des composantes quand ces composantes sont perpendiculaires, nous pouvons ajouter des triangles rectangles à notre diagramme et utiliser la trigonométrie à angle droit. Ce processus est particulièrement utile lorsque vous travaillez avec des objets sur des plans inclinés. Lorsque cela n’est pas possible, c’est-à-dire lorsque les composantes ne sont pas perpendiculaires les unes par rapport aux autres, nous utilisons un diagramme appelé parallélogramme des forces. Ensuite, nous utilisons des faits sur les angles et la règle du sinus pour nous aider à calculer les différentes composantes.

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