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Vidéo de question : Calcul de l’aire d’un polygone à partir de la longueur d’un de ses côtés, de l’aire d’un polygone semblable et de la longueur du côté correspondant dans le polygone semblable Mathématiques

Deux côtés correspondants de deux polygones semblables ont des longueurs de 54 et 57 centimètres. Sachant que l’aire du plus petit polygone égale 324 cm², déterminez l’aire du plus grand polygone.

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Transcription de vidéo

Deux côtés correspondants de deux polygones semblables ont des longueurs de 54 et 57 centimètres. Sachant que l’aire du plus petit polygone égale 324 centimètres carrés, déterminez l’aire du plus grand polygone.

Nous savons que ces deux polygones sont semblables. Or, nous savons que deux polygones sont semblables si deux affirmations sont vraies. Premièrement, si tous leurs angles correspondants sont égaux. Deuxièmement, si les côtés correspondants des deux polygones sont proportionnels. Ainsi, ils n’ont pas besoin d’avoir la même longueur mais ils doivent être proportionnels. Cela signifie que si un côté d’un polygone est deux fois plus long que sur l’autre polygone, tous les autres côtés doivent également être deux fois plus longs.

Ce ratio entre les longueurs des côtés correspondants est le rapport des longueurs. Puisque nous connaissons les longueurs des côtés correspondants, 54 et 57 centimètres, nous pouvons le calculer. Ce rapport se trouve en divisant la longueur d’un côté sur le grand polygone par celle du côté correspondant sur le petit polygone. Ainsi, nous avons 57 sur 54.

Cette fraction se simplifie, car le numérateur et le dénominateur sont des multiples de trois. En divisant 57 par trois, nous obtenons 19. En divisant 54 par trois, nous obtenons 18. Ainsi, le rapport des longueurs se simplifie en 19 sur 18.

De plus, nous savons que l’aire du petit polygone est de 324 centimètres carrés et on nous demande de trouver l’aire du grand polygone. Est-ce que cela veut dire que l’aire du grand polygone sera simplement 324 multiplié par le rapport 19 sur 18 ? En fait, non. Cela vient du fait que le rapport des longueurs et le rapport des aires ne sont pas les mêmes. Voyons pourquoi.

Supposons que nous ayons deux carrés. Deux carrés sont toujours semblables. Supposons que le premier carré ait des côtés mesurant un centimètre. Le second carré a des côtés mesurant trois centimètres. Le rapport des longueurs entre ces deux carrés est alors de trois sur un, c’est-à-dire trois.

Examinons les aires de ces carrés. Pour trouver l’aire d’un carré, nous prenons le carré de son côté. Ainsi, pour le premier carré, un centimètre multiplié par un centimètre donne un centimètre carré. Pour le deuxième carré, l’aire est de trois centimètres multipliés par trois centimètres, soit neuf centimètres carrés. Le rapport entre les aires de ces carrés est alors de neuf sur un, ce qui est égal à neuf. Il n’est pas égal à trois, le rapport des longueurs ; mais il existe une relation entre ces deux rapports. Pouvez-vous la trouver ?

Bien, neuf est égal à trois au carré. Il se trouve que cette relation est toujours vraie. Si le rapport des longueurs entre deux polygones semblables est égal à un nombre 𝑘, alors le rapport de leurs aires est le carré de ce nombre, 𝑘 au carré. Ceci signifie que pour trouver l’aire du grand polygone, nous multiplions l’aire du petit polygone non pas par 19 sur 18 mais par 19 sur 18 au carré.

Nous pouvons à présent la calculer. Pour élever une fraction au carré, nous mettons au carré son numérateur et son dénominateur. 19 au carré égale 361. 18 au carré égale 324. Nous remarquons que nous avons 324 au numérateur et 324 au dénominateur. Ainsi, ils se simplifient, ce qui donne un multiplié par 361 sur un. Le calcul se simplifie donc en 361. L’unité de cette aire est la même que celle de l’aire du petit polygone. Ce sont des centimètres carrés.

Ainsi, en se rappelant que si le rapport des longueurs entre deux polygones semblables vaut 𝑘, alors le rapport de leurs aires vaut 𝑘 au carré, nous avons calculé que l’aire du grand polygone est de 361 centimètres carrés.

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