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Vidéo de question : Déterminer si trois points sont alignés à l’aide des déterminants Mathématiques

En utilisant les déterminants, les points (0 ; 1), (2 ; 1/2) et (4 ; 0) sont-ils alignés ?

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Transcription de vidéo

En utilisant les déterminants, les points zéro, un ; deux, un demi ; et quatre, zéro sont-ils alignés ?

Dans cette question, nous devons déterminer si trois points donnés sont alignés. Cela signifie qu’ils se trouvent sur la même droite ? Et il y a plusieurs façons de procéder. Par exemple, nous pourrions trouver une équation d’une droite entre une paire de ces trois points, puis déterminer si le troisième point se trouve sur cette droite. Cependant, la question veut que nous le fassions en utilisant des déterminants. Et pour faire cela, nous devons rappeler le fait suivant sur les déterminants. Si nous avons trois points distincts 𝑥 un, 𝑦 un ; 𝑥 deux, 𝑦 deux et 𝑥 trois, 𝑦 trois, alors nous pouvons déterminer si ces points sont alignés en calculant le déterminant de la matrice trois fois trois 𝑥 un, 𝑦 un, un, 𝑥 deux, 𝑦 deux, un, 𝑥 trois, 𝑦 trois, un.

Si ce déterminant est nul, alors les trois points sont alignés. Si ce déterminant est non nul, alors les trois points sont non alignés. Et il convient de noter que la déclaration fonctionne dans les deux sens. Si le déterminant est nul, alors les points sont alignés. Et de même, si les points sont alignés, alors le déterminant est nul, supposant que nous avons trois points distincts. Et pour voir pourquoi cela est vrai, nous pouvons rappeler que la valeur absolue de ce déterminant nous donne l’aire d’un parallélogramme avec ces trois points comme sommets. Et la seule façon dont l’aire d’un parallélogramme peut être égal à zéro est si ses sommets sont alignés. Par conséquent, nous pouvons déterminer si ces trois points sont alignés en substituant les trois points qui nous sont donnés dans la question dans cette équation.

Nous devons déterminer si le déterminant de la matrice zéro, un, un, deux, un demi, un, quatre, zéro, un est égal à zéro. Et nous pouvons évaluer le déterminant de cette matrice de la manière que nous souhaitons. Nous allons développer la première ligne, car elle comprend le nombre zéro. Pour développer la première ligne de cette matrice, nous devons trouver tous les mineurs de la matrice de cette ligne. Et rappelez-vous, le signe de ce développement changera en fonction de la parité. Dans ce cas, le deuxième terme sera négatif. Cela nous donne zéro fois le déterminant de la matrice un demi, un, zéro, un moins un fois le déterminant de la matrice deux, un, quatre, un plus un fois le déterminant de la matrice deux, un demi, quatre, zéro.

Maintenant, il ne reste plus qu’à évaluer cette expression. Le premier terme à un facteur de zéro, il est donc égal à zéro. Et rappelez-vous, pour évaluer le déterminant d’une matrice deux fois deux, nous devons trouver la différence dans les produits des diagonales. Au deuxième terme, cela fait deux fois un moins quatre fois un, soit deux moins quatre. Et au troisième terme, c’est deux fois zéro moins quatre fois un demi, ce qui est zéro moins deux. Cela nous donne moins un fois deux moins quatre plus un fois zéro moins deux. Et si nous évaluons cette expression, nous obtenons deux moins deux, ce qui est égal à zéro. Et puisque ce déterminant est égal à zéro, les trois points sont soit non distincts soit alignés. Et nous pouvons voir que ce sont des points distincts, ils doivent donc être alignés.

Par conséquent, nous avons pu montrer en utilisant les déterminants que les points zéro, un ; deux, un demi et quatre, zéro sont alignés.

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