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Vidéo de question : Déterminer l’argument de la puissance d’un nombre complexe Mathématiques

Etant donné que 𝑍 = −30 + 30𝑖, déterminez l’argument principal de 𝑍⁵.

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Transcription de vidéo

Etant donné que 𝑍 est égal à moins 30 plus 30𝑖, déterminez l’argument principal de 𝑍 puissance cinq.

Dans cette question, on nous donne un nombre complexe 𝑍 sous forme algébrique. C’est-à-dire sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Nous devons utiliser cette information pour déterminer l’argument principal de 𝑍 puissance cinq. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce qu’est l’argument principal d’un nombre complexe. L’argument principal d’un nombre complexe correspond à l’angle entre le segment allant de 𝑍 à l’origine sur un diagramme d’Argand et l’axe des nombres réels positifs, et nous limitons cet angle entre moins 𝜋 et 𝜋 en radians ou moins 180 et 180 degrés en degrés. Dans cette question, nous allons travailler en degrés.

Donc, pour répondre à cette question, nous allons d’abord devoir déterminer l’argument du nombre complexe 𝑍 puissance cinq. Comme nous devons déterminer un nombre complexe avec un exposant entier, nous allons rappeler le théorème de Moivre. Ce théorème nous dit que pour un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique, c’est-à-dire 𝑟 fois cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, où 𝑟 est supérieur ou égal à zéro et 𝜃 est un nombre réel, alors pour toute valeur entière de 𝑛, 𝑟 fois cosinus de 𝜃 plus 𝑖 sinus de 𝜃 le tout puissance 𝑛 est égal à 𝑟 puissance 𝑛 multiplié par cosinus 𝑛𝜃 plus 𝑖 sinus 𝑛𝜃. Autrement dit, lorsque nous élevons un nombre complexe avec un exposant entier 𝑛, il faut élever son module à la puissance 𝑛 et multiplier son argument par 𝑛.

Afin d’appliquer cela pour déterminer 𝑍 puissance cinq, il faut d’abord écrire 𝑍 sous forme trigonométrique. Et pour cela, il faut déterminer les valeurs de 𝑟 et 𝜃 qui correspondent au module et à l’argument de 𝑍. Commençons par le module de 𝑍. C’est la distance entre 𝑍 et l’origine sur un diagramme d’Argand. Nous pouvons déterminer sa valeur en calculant la racine carrée de la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire de 𝑍. C’est donc la racine carrée de moins 30 au carré plus 30 au carré, ce qui fait, si nous le calculons, 30 racines de deux.

Mais notons que nous n’avons pas besoin de trouver cette valeur. Le module de 𝑍 nous donne la distance entre 𝑍 et l’origine dans un diagramme d’Argand. Et nous pouvons voir que le module du nombre complexe 𝑍 n’a aucun rapport avec son argument lorsqu’on prend une puissance entière. Par conséquent, le module de 𝑍 n’aura pas de lien avec l’argument de 𝑍 puissance cinq. Et plus particulièrement, il n’aura pas de lien avec son argument principal. Mais, il est toujours utile de savoir comment écrire 𝑍 sous forme trigonométrique.

Nous devons ensuite déterminer l’argument de 𝑍. Et pour cela, nous allons d’abord déterminer dans quel quadrant 𝑍 se situe sur un diagramme d’Argand. Comme la partie réelle de 𝑍 est moins 30 et que sa partie imaginaire est 30, la valeur de 𝑥 est moins 30 et la valeur de 𝑦 est 30. Ceci signifie qu’il se situe donc dans le deuxième quadrant. Nous pouvons alors déterminer l’argument de 𝑍 en rappelant le résultat suivant. Soit 𝑎 plus 𝑏𝑖 un nombre complexe sous forme algébrique situé dans le deuxième quadrant du diagramme d’Argand, alors l’argument de 𝑎 plus 𝑏𝑖 est égal à l’arctangente de 𝑏 divisé par 𝑎 plus 180 degrés. Cette formule nous permet de déterminer l’argument de 𝑍. Notre valeur de 𝑏, la partie imaginaire de 𝑍, est 30. Et notre valeur de 𝑎, la partie réelle de 𝑍, est moins 30. Donc, l’argument de 𝑍 vaut arctangente de 30 divisé par moins 30 plus 180 degrés.

Nous pouvons calculer ça. L’arctangente de moins un est moins 45 degrés, ce qui nous donne que l’argument de 𝑍 vaut 135 degrés. Nous pouvons alors utiliser ce résultat pour écrire 𝑍 sous forme trigonométrique. 𝑍 est égal à 30 racine de deux multipliée par cosinus 135 degrés plus 𝑖 sinus 135 degrés. Maintenant, nous pouvons utiliser le théorème de Moivre pour élever les deux membres de cette équation à la puissance cinq. Comme cinq est un exposant entier, lorsque nous élevons 𝑍 à la puissance cinq, nous élevons son module à la puissance cinq et nous multiplions son argument par cinq. 𝑍 puissance cinq est égal à 30 racine de deux puissance cinq multiplié par cosinus cinq fois 135 degrés plus 𝑖 sinus cinq fois 135 degrés.

Alors, nous sommes seulement intéressés par l’argument principal de 𝑍 puissance cinq. Nous pouvons le déterminer directement à partir de son argument. Nous allons tout d’abord simplifier cet argument. Cinq multiplié par 135 degrés vaut 675 degrés. Et ensuite l’argument principal de cette valeur correspond à l’angle équivalent compris entre moins 180 et 180 degrés, avec 180 degrés inclus.

Nous pouvons alors déterminer l’argument principal de 𝑍 puissance cinq en rappelant que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques avec une période de 360 degrés. Autrement dit, il est possible d’ajouter et de soustraire des multiples entiers de 360 degrés à l’argument. Donc, en faisant 675 degrés moins 360 degrés, nous ne changeons pas la valeur. Cela nous donne 315 degrés. Mais cette valeur n’est pas dans l’intervalle donné. En soustrayant de nouveau 360 degrés nous obtenons moins 45 degrés, ce qui correspond à l’intervalle.

Nous avons donc montré que si 𝑍 vaut moins 30 plus 30𝑖, alors l’argument principal de 𝑍 puissance cinq vaut moins 45 degrés.

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