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Vidéo de question : Conversion de l’énergie mécanique Physique

Une balle ayant une vitesse initiale de 20 m/s roule le long d’une surface courbe, comme le montre la figure. La masse de la balle est de 100 g. En supposant que, pour cette balle, il y a seulement conversion d’énergie cinétique en énergie potentielle gravitationnelle, et vice-versa, calcule la hauteur de la balle à différentes positions, au mètre près. Trouve ℎ₁, ℎ₂, ℎ₃, et ℎ₄.

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Transcription de vidéo

Une balle ayant une vitesse initiale de 20 mètres par seconde roule le long d’une surface courbe, comme le montre la figure. La masse de la balle est de 100 grammes. En supposant seulement des conversions d’énergie entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle gravitationnelle de la balle, calcule la hauteur de la balle à différentes positions au mètre près. Trouve ℎ un. Trouve ℎ deux. Trouve ℎ trois. Trouve ℎ quatre.

Bien, dans cette question, on a une balle qui roule de haut en bas sur une surface courbe. On nous dit également que lorsque la balle se déplace de haut en bas le long de cette courbe, elle gagne ou perd de l’énergie potentielle gravitationnelle et de l’énergie cinétique lorsqu’une forme est convertie en une autre ou vice versa. On doit utiliser les vitesses de la balle données en différents points de la courbe pour calculer les hauteurs ℎ un, ℎ deux, ℎ trois et ℎ quatre.

Ici, la première chose que l’on peut faire est de calculer l’énergie totale de la balle. Le moyen le plus simple de le faire est de calculer l’énergie cinétique de la balle ici. Car on peut dire que lorsque la balle est à cette hauteur, son énergie gravitationnelle potentielle est nulle. Par conséquent, la seule forme d’énergie que possède la balle ici est l’énergie cinétique. Donc, en général, l’énergie totale de la balle, que l’on note E indice tot, est égale à l’énergie cinétique 𝐸 indice cin plus l’énergie potentielle gravitationnelle 𝐸 indice grav.

Cependant, en ce point, il n’y a pas d’énergie potentielle gravitationnelle car, comme on l’a dit précédemment, c’est le point où on établit que l’énergie potentielle gravitationnelle est nulle. En toute hauteur au-dessus de ce point la balle aura une énergie potentielle gravitationnelle, mais ici, ce n’est pas le cas. Donc, en ce point que l’on note point zéro, l’énergie totale est égale à l’énergie cinétique au point zéro, que l’on note 𝐸 indice cin, zéro. Et bien sûr, on note plus zéro ici car 𝐸 indice grav, zéro - l’énergie potentielle gravitationnelle en ce point - comme on l’a déjà vu, est de zéro.

Donc, étudions l’énergie cinétique au point zéro. On peut rappeler que l’énergie cinétique d’un objet est donnée en multipliant la moitié de la masse de cet objet 𝑚 par la vitesse de cet objet 𝑣 au carré. Heureusement, on connait déjà la masse de la balle et sa vitesse au point zéro. On sait que la masse de la balle est de 100 grammes et on connait la vitesse au point zéro que l’on note 𝑣 indice zéro et qui vaut 20 mètres par seconde. Ceci nous est donné sur la figure - 20 mètres par seconde.

Cependant, on peut pas travailler avec la masse en grammes. Convertissons cette masse en unités de masse standard, à savoir, les kilogrammes. Pour ce faire, on peut rappeler qu’un kilogramme vaut 1000 grammes. Donc, si on divise cette équation par 1000 des deux côtés, les 1000 du côté droit s’annulent, ce qui nous laisse avec un millième de kilogramme égal à un gramme.

Cependant, la masse de notre balle est de 100 grammes. On peut donc multiplier les deux côtés de l’équation par 100. Du côté droit de l’équation, il nous reste 100 grammes comme on le souhaitait, et à gauche, il nous reste 0,1 kilogramme. Or, on sait que la masse de la balle est de 0,1 kilogramme. Et par conséquent, on peut l’écrire ici sous la forme de 0,1 kilogramme.

Ensuite, voyons l’énergie cinétique de la balle au point zéro. On établit que 𝐸 indice cin, qui est l’énergie cinétique au point zéro, est égale à la moitié de la masse de la balle multipliée par la vitesse au point zéro au carré. On peut maintenant substituer toutes les valeurs, pour la masse, 0,1 kilogramme, et pour la vitesse, 20 mètres par seconde. Ainsi, lorsque l’on calcule cela, on obtient que l’énergie cinétique de la balle est de 20 joules.

Et puisque l’on utilise des unités standard pour la masse, les kilogrammes, et pour la vitesse, les mètres par seconde, on sait ainsi que ce qu’on a calculé en termes d’énergie cinétique sera dans ses unités standard, qui sont des joules. Ainsi, l’énergie cinétique de la balle en bas de la pente est de 20 joules.

Mais en quoi ceci est-il pertinent ? Et bien, comme on l’a dit plus tôt, cette énergie cinétique est également égale à l’énergie totale de la balle, car on rappelle qu’elle n’a pas d’énergie potentielle gravitationnelle. Donc, son énergie totale ne sera que son énergie cinétique. Et par conséquent, l’énergie totale de la balle sera de 20 joules.

Ensuite, on peut utiliser la loi de conservation de l’énergie. Cette loi dit que l’énergie totale de la balle 𝐸 indice tot reste constante. Cela signifie que même si il y a des conversions entre l’énergie potentielle gravitationnelle et l’énergie cinétique pour la balle qui se déplace le long de la courbe, l’énergie totale sera toujours de 20 joules. Elle restera la même.

Donc, l’énergie totale ici au point un est également de 20 joules. L’énergie totale ici est de 20 joules. L’énergie totale au point trois ici est de 20 joules et la même pour le point quatre. En d’autres termes, l’énergie totale de la balle ne change pas. Elle reste constante. Elle se conserve. Et pour les points un, deux, trois et quatre, on ne peut plus dire que l’énergie potentielle gravitationnelle est nulle car en ces points, elle n’est pas nulle. On observe donc qu’en ces points, il y a une énergie potentielle gravitationnelle.

En d’autres termes, une partie de l’énergie cinétique que la balle avait au point zéro est convertie en énergie potentielle gravitationnelle lorsque la balle se déplace le long de la courbe. Cependant, l’énergie totale que l’on connait maintenant sera toujours de 20 joules. Calculons donc l’énergie potentielle gravitationnelle en chacun de ces points. Car en utilisant cela, on peut calculer la hauteur de la balle en ces points.

Rappelons donc que l’énergie potentielle gravitationnelle 𝐸 indice grav est donnée par la masse d’un objet multipliée par l’intensité du champ gravitationnel de la Terre multipliée par la hauteur de cet objet au-dessus du point où on a défini l’énergie potentielle gravitationnelle nulle. Et comme on l’a dit plus tôt, à cette hauteur ici, l’énergie potentielle gravitationnelle de la balle est nulle. Donc, à toute hauteur au-dessus de cela, l’énergie potentielle gravitationnelle n’est pas nulle. Et la hauteur est mesurée par rapport à la hauteur de la balle en ce point - point zéro.

Bien, étudions d’abord le point un. On sait que l’énergie totale de la balle correspond à l’énergie cinétique de la balle plus l’énergie potentielle gravitationnelle. Donc, au point un, on peut dire que l’énergie totale de la balle est égale à l’énergie cinétique au point un, qui est donnée par la moitié de la masse de la balle multipliée par la vélocité de la balle au point un au carré plus l’énergie potentielle gravitationnelle, qui est donnée par la masse de la balle multipliée par l’intensité du champ gravitationnel de la Terre multipliée par la hauteur au point un, qui est ℎ un.

Ceci est donc l’expression de l’énergie totale de la balle. Mais rappelons que l’on sait déjà que l’énergie totale doit rester la même tout au long du mouvement de la balle. Donc, l’énergie totale doit être de 20 joules. De plus, on connait déjà la masse de la balle et on connait la vélocité de la balle au point un. Elle est donnée dans l’énoncé. Elle est de 12 mètres par seconde.

Donc, la seule chose que l’on ne connait pas dans cette équation est la hauteur de la balle ℎ un. Cela signifie que l’on peut réorganiser cette équation pour trouver ℎ un. Pour ce faire, on peut d’abord soustraire un demi 𝑚𝑣 carré des deux côtés de l’équation afin qu’il s’annule du côté droit. Et il nous reste 𝐸 indice tot, l’énergie totale, moins un demi 𝑚𝑣 un carré est égal à 𝑚𝑔ℎ un. Ensuite, on divise les deux côtés de l’équation par 𝑚𝑔 afin que les 𝑚𝑔s du côté droit s’annulent. De cette façon, il ne nous reste plus que ℎ un du côté droit.

Et à présent, on peut remplacer toutes les valeurs. Comme on l’a déjà dit, on connait 𝐸 indice tot, on connait 𝑚, on connait 𝑣, ici encore on connait 𝑚, et on connait 𝑔. Rappelons que 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel de la Terre et vaut 9,8 mètres par seconde au carré. On peut alors calculer ℎ un.

Donc ℎ un est égal à 𝐸 indice tot qui est de 20 joules moins un demi multiplié par la masse qui est de 0.1 kilogramme multiplié par 𝑣 un au carré. Dans ce cas, 𝑣 un est de 12 mètres par seconde. On met cette valeur au carré, puis on divise le tout par la masse qui est de 0,1 kilogramme multipliée par le champ gravitationnel de 9,8 mètres par seconde au carré. Donc, cette expression va nous donner la valeur de ℎ un. Et lorsque l’on calcule cela, on obtient que ℎ un est de 13,06... mètres. Mais on rappelle qu’on nous demande de donner nos réponses au mètre près. On arrondit donc cette valeur à 13 mètres. Et par conséquent, nous avons notre valeur pour ℎ un, maintenant. On peut dire que ℎ un est égal à 13 mètres.

Maintenant, heureusement pour nous, on peut utiliser la même analyse que ce que l’on vient de faire pour déterminer les valeurs de ℎ deux, ℎ trois et ℎ quatre car la même logique s’applique. La seule chose à changer à partir de cette équation est la vélocité au point un, qui deviendra maintenant la vélocité au point deux ou trois ou quatre selon le point étudié. Et de cette façon, on trouvera une expression pour ℎ deux ou trois ou quatre selon le point étudié. Et ceci parce que l’énergie totale ne change jamais – on rappelle la conservation de l’énergie - et le reste de l’expression ne change pas non plus, à l’exception de la vélocité en ce point et de la hauteur de ce point.

Donc, en utilisant cette équation, trouvons maintenant ℎ deux. Cette fois, on dit que ℎ deux est égal à 𝐸 indice tot qui est de 20 joules moins la moitié de la masse de la balle qui reste la même multipliée par 𝑣 au carré. Ici, la vitesse est de 5,6 mètres par seconde. On prend donc cette valeur, on la met au carré et on sait que cela vaut 5.6 car ceci est, ici encore, noté sur la figure.

Au point deux, la vélocité est de 5,6 mètres par seconde. Et on divise encore une fois cela par 0.1 multiplié par 9.8, la masse multipliée par la force du champ gravitationnel de la Terre. Et en utilisant cette équation, on obtient que ℎ deux est de 18,808 mètres. Cependant, encore une fois, on doit arrondir au mètre près. Et on constate que ce nombre - celui après la virgule - est un huit. Cette valeur est donc supérieure à cinq. La valeur avant la virgule va donc s’arrondir à neuf. Donc, au mètre près, ℎ deux devient 19 mètres. Et par conséquent, c’est notre réponse à la deuxième partie de la question.

En appliquant la même logique pour ℎ trois, on substitute maintenant 𝑣 deux par 𝑣 trois et ℎ deux par ℎ trois. On a que ℎ trois est égal à 20 joules moins un demi multiplié par 0,1 multiplié par 1,5 carré car ici la vélocité est de 1.5 mètres par seconde. On obtient que ℎ trois est égal à 20,29 mètres. Mais encore une fois, on doit arrondir au mètre près et cette valeur est inférieure à cinq car elle est de deux. Et donc la valeur avant la virgule reste la même. On peut donc dire que ℎ trois est égale à 20 mètres, au mètre près.

Passons maintenant à ℎ quatre, on voit que ℎ quatre est égal à 20 moins un demi multiplié par 0.1 multiplié par 3.1 au carré car ici on nous donne une vélocité de 3,1 mètres par seconde. Et encore une fois, on divise cela par 0,1 multiplié par 9,8. Lorsque l’on calcule cela, on constate que ℎ quatre est de 19,91 mètres. Et encore une fois, on arrondit. Ici, cette valeur est un neuf. Donc, plus grand que cinq. Donc, cette valeur va s’arrondir à zéro. Mais rappelons-nous que cela ne s’arrondit pas vraiment à zéro. Cela s’arrondit à 10. On reporte alors cela dans la colonne des dizaines, ce qui signifie que 19.91 s’arrondit réellement à 20 mètres. Et donc on obtient que ℎ quatre est en fait aussi égal à 20 mètres, au mètre près.

Or, cela ne signifie pas que ℎ trois et ℎ quatre sont exactement les mêmes parce que si c’était le cas, alors la balle ne pourrait pas se déplacer à des vitesses différentes en ℎ trois et ℎ quatre. Cependant, au mètre près, ces valeurs sont les mêmes. En d’autres termes, ells s’arrondissent toutes les deux à 20 mètres.

Et on a donc à présent nos réponses finales. ℎ un mesure 13 mètres, ℎ deux mesure 19 mètres, ℎ trois mesure 20 mètres et ℎ quatre mesure 20 mètres, au mètre près.

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