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Vidéo de question : Déterminer le domaine de définition du quotient de deux fonctions rationnelles Mathématiques

Sachant que f₁ (𝑥) = 𝑥 + (9 / (𝑥 - 6)), f₂ (𝑥) = 9𝑥 + (81 / (𝑥 - 6)) et f (𝑥) = f₁ (𝑥) ÷ f₂ (𝑥), déterminez l’ensemble de définition de f(𝑥).

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Transcription de vidéo

Sachant que f indice un de 𝑥 égale 𝑥 plus neuf sur 𝑥 moins six, f indice deux de 𝑥 égale neuf 𝑥 plus 81 sur 𝑥 moins six, et f de 𝑥 égale f indice un de 𝑥 divisé par f indice deux de 𝑥, déterminez l’ensemble de définition de f de 𝑥.

Rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction correspond à l’ensemble des valeurs possibles de 𝑥 pour cette fonction. Et nous voyons que f de 𝑥 est le quotient de deux fonctions. Il s’agit de f un de 𝑥 divisé par f deux de 𝑥. Nous pouvons donc l’écrire comme 𝑥 plus neuf sur 𝑥 moins six divisé par neuf 𝑥 plus 81 divisé par 𝑥 moins six. Alors, avant de déterminer l’ensemble de définition de cette fonction, arrangeons un peu chaque expression.

Commençons par ajouter les termes de la première fonction. Pour cela, il faut voir que 𝑥 est équivalent à 𝑥 sur un. Et nous voulons ensuite faire apparaître un dénominateur commun. Ce dénominateur commun est le produit des deux dénominateurs donnés. C’est donc 𝑥 moins six. Pour obtenir le numérateur de la nouvelle expression, nous multiplions 𝑥 par 𝑥 moins six, puis nous ajoutons neuf ou neuf fois un. Et donc nous pouvons réécrire f indice un de 𝑥 comme 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf sur 𝑥 moins six. Nous pourrions alors même factoriser le numérateur pour obtenir 𝑥 moins trois au carré.

Répétons ce processus pour ajouter neuf 𝑥 à 81 sur 𝑥 moins six. Encore une fois, nous écrivons neuf 𝑥 comme neuf 𝑥 sur un. Et le dénominateur commun est une fois 𝑥 moins six, ce qui fait toujours 𝑥 moins six. Le numérateur est alors neuf 𝑥 fois 𝑥 moins six plus 81 fois un. Et si nous développons les parenthèses, le numérateur devient neuf 𝑥 carré moins 54𝑥 plus 81. Remarquons alors que tous les termes au numérateur sont divisibles par neuf. Nous pouvons donc l’écrire comme neuf fois 𝑥 carré moins six 𝑥 plus neuf, ce qui, un peu comme f indice un de 𝑥, peut alors s’écrire comme neuf fois 𝑥 moins trois au carré sur 𝑥 moins six.

Donc, en remplaçant f indice un de 𝑥 et f indice deux de 𝑥 dans l’équation de f de 𝑥, nous obtenons 𝑥 moins trois au carré sur 𝑥 moins six divisé par neuf fois 𝑥 moins trois au carré sur 𝑥 moins six.

Faisons un peu de place et rappelons ce que nous savons sur la division par une fraction. Diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Nous pouvons donc réécrire f de 𝑥 comme 𝑥 moins trois au carré sur 𝑥 moins six fois 𝑥 moins six sur neuf fois 𝑥 moins trois au carré. Et pour simplifier, nous voyons maintenant qu’il existe un certain nombre de facteurs communs que nous pouvons simplifier. Mais nous cherchons à déterminer l’ensemble de définition de f de 𝑥. Et il faut toujours faire cela avant de simplifier.

Donc, à la place, nous allons multiplier les fractions en multipliant les numérateurs et les dénominateurs. Et nous obtenons 𝑥 moins trois au carré fois 𝑥 moins six sur neuf fois 𝑥 moins six fois 𝑥 moins trois au carré. Nous avons maintenant une fonction rationnelle. Rappelons qu’une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Et si nous développons les parenthèses au numérateur et au dénominateur de la fraction, nous pourrions constater qu’il s’agit de polynômes.

Alors, que savons-nous du domaine de définition d’un polynôme ? L’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est l’ensemble des nombres réels. Mais il n’est pas possible de diviser par zéro. Nous devons exclure toutes les valeurs de 𝑥 qui annulent le dénominateur. L’ensemble de définition de f de 𝑥 sera donc l’ensemble des nombres réels moins toutes les valeurs de 𝑥 qui satisfont l’équation neuf fois 𝑥 moins six fois 𝑥 moins trois au carré égale zéro.

Résolvons donc cette équation pour déterminer les valeurs de 𝑥 à exclure de l’ensemble de définition. Nous remarquons que neuf ne dépend pas de 𝑥. Donc pour que l’expression neuf fois 𝑥 moins six fois 𝑥 moins trois au carré soit égale à zéro, il faut que 𝑥 moins six soit égal à zéro ou 𝑥 moins trois au carré soit égal à zéro. En ajoutant six des deux côtés de la première équation, nous obtenons 𝑥 égale six. En prenant la racine carrée puis en ajoutant trois des deux côtés de cette équation, nous obtenons 𝑥 égal à trois. Cela signifie que nous devons exclure les valeurs trois et six du domaine de définition de la fonction f de 𝑥. Et cela signifie aussi que nous pouvons écrire l’ensemble de définition de f de 𝑥 comme indiqué. C’est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant les éléments trois et six.

Et bien sûr, une fois que nous avons identifié l’ensemble de définition, si nous le souhaitons, nous pouvons simplifier la fraction. On ne nous le demande pas dans la question, mais rappelons comment procéder. Nous divisons le numérateur et le dénominateur par 𝑥 moins six. Comme nous avons exclu 𝑥 égale six de l’ensemble de définition de la fonction, il n’est pas possible d’obtenir zéro divisé par zéro, ce qui est une valeur indéfinie. Donc, cette étape est correcte. Ensuite, nous divisons par 𝑥 moins trois le tout au carré. Et nous voyons que f de 𝑥 se simplifie en fait en un neuvième. Notons qu’un neuvième est une constante ; elle ne dépend pas de 𝑥. Et donc l’ensemble de définition d’une fonction qui vaut un neuvième est l’ensemble des nombres réels. C’est pourquoi il est important de déterminer l’ensemble de définition avant de simplifier les fractions.

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