Vidéo de la leçon : Valeur moyenne d’une fonction Mathématiques

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Dans cette leçon, nous allons apprendre à utiliser le théorème des accroissements finis pour les intégrales afin de déterminer la valeur moyenne d’une fonction. À ce stade, vous devez être sûrs de pourvoir déterminer des intégrales définies de diverses fonctions, notamment des fonctions polynômes.

Dans cette vidéo, nous allons examiner ces idées et les développer pour trouver la valeur moyenne d’une fonction donnée sur un intervalle fermé. Nous commençons alors par rappeler le théorème des accroissements finis pour les intégrales. C’est que si 𝑓 est une fonction continue sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors il existe un nombre 𝑐 dans cet intervalle tel que l’intégrale évaluée entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑐 fois 𝑏 moins 𝑎. Et dans ce théorème, la valeur de 𝑓 de 𝑐 est la valeur moyenne de notre fonction 𝑓 sur cet intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. Mais qu’est-ce que cela signifie réellement ?

Cela nous indique essentiellement que nous garantissons qu’une fonction continue aura au moins un point, où la fonction elle-même est égale à la valeur moyenne de la fonction sur cet intervalle fermé. Nous pouvons réorganiser cette équation pour faire de 𝑓 de 𝑐 son objet. Et nous trouvons la formule pour la valeur moyenne de notre fonction. Si 𝑓 est intégrable sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors la valeur moyenne de la fonction sur cet intervalle fermé est donnée par un sur 𝑏 moins 𝑎 fois l’intégrale ayant une valeur comprise entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous allons maintenant voir l’application de cette formule à travers divers exemples.

Déterminez la valeur moyenne de 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 sur l’intervalle fermé moins trois à cinq.

Rappelez-vous que la formule pour la valeur moyenne de la fonction 𝑓 sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 est un sur 𝑏 moins 𝑎 fois l’intégrale évaluée entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Dans ce cas, nous voyons que notre 𝑓 de 𝑥 est égale à trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥. Notre intervalle fermé est de moins trois à cinq. Donc on a 𝑎 égale moins trois et 𝑏 égale cinq. Un sur 𝑏 moins 𝑎 devient un sur cinq moins moins trois. Et ceci est multiplié par l’intégrale évaluée entre moins trois et cinq de trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Cinq moins moins trois est huit. Nous devons donc évaluer cette intégrale définie.

Nous rappelons ici que l’intégrale indéfinie du terme général d’un polynôme 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝑐, où 𝑎 et 𝑐 sont des constantes et 𝑛 n’égale pas moins un. Nous rappelons aussi que nous pouvons intégrer la somme des termes d’un polynôme en intégrant chaque terme individuellement. Et nous voyons que l’intégrale de trois 𝑥 au carré est trois 𝑥 au cube sur trois. Et l’intégrale de moins deux 𝑥 est moins deux 𝑥 au carré sur deux. Et nous allons évaluer cela entre moins trois et cinq.

Cela se simplifie en 𝑥 au cube moins 𝑥 au carré. Substituons donc par nos bornes. Nous cherchons à trouver un huitième de cinq au cube moins cinq au carré moins moins trois au cube moins moins trois au carré. C’est un huitième de 100 moins moins 36, ce qui équivaut à 17. Ainsi, la valeur moyenne de notre fonction trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 sur l’intervalle fermé moins trois à cinq est 17.

Maintenant que nous avons une idée sur comment fonctionne la formule de la valeur moyenne d’une fonction, nous allons voir un exemple qui implique un peu plus de travail sur le site d’intégration.

Déterminez la valeur moyenne de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré sur 𝑥 au cube moins cinq, le tout au carré sur l’intervalle fermé moins un à un.

N’oubliez pas que la formule de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 est donnée sous la forme un sur 𝑏 moins 𝑎 fois l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 évaluée entre 𝑎 et 𝑏. Dans ce cas, nous pouvons voir que notre fonction est égale à 𝑥 au carré sur 𝑥 au cube moins cinq le tout au carré. Et nous voyons que notre intervalle fermé est de moins un à un. Donc on écrit 𝑎 égale moins un et 𝑏 égale un. Et cela signifie que la valeur moyenne de notre fonction est donnée sous la forme de un sur un moins moins un fois l’intégrale de 𝑥 au carré sur 𝑥 au cube moins cinq le tout au carré par rapport à 𝑥 ayant une valeur comprise entre moins un et un.

Un moins moins un est deux. Mais comment évaluons-nous cette intégrale définie ? Eh bien, nous devons noter que le numérateur est un multiple scalaire de la dérivée d’une partie du dénominateur. La dérivée de 𝑥 au cube moins cinq est de trois 𝑥 au carré. Et cela nous dit que nous pouvons utiliser l’intégration par substitution. On a 𝑢 égale 𝑥 au cube moins cinq, et d𝑢 par d𝑥 est donc égal à trois 𝑥 au carré. Nous savons que d𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction. Mais aux fins de l’intégration par substitution, nous le traitons un peu comme lorsque nous disons que cela équivaut à un tiers d𝑢 égale 𝑥 au carré d𝑥.

Nous sommes maintenant en mesure de remplacer les différentes parties de notre intégrale. Nous remplaçons 𝑥 carré d𝑥 par un tiers d𝑢. Et nous remplaçons 𝑥 au cube moins cinq par 𝑢. Et nous voyons que la valeur moyenne de notre fonction est égale une fois et demie l’intégrale d’un tiers fois un sur 𝑢 au carré par rapport à 𝑢. Mais que faire de ces bornes ?

Eh bien, nous utilisons notre définition de 𝑢. Nous avons dit que 𝑢 était égal à 𝑥 au cube moins cinq. Donc, pour notre borne supérieure, lorsque 𝑥 égale un, 𝑢 égale un au cube moins cinq, ce qui donne moins quatre. Et lorsque 𝑥 égale moins un, 𝑢 égale moins un négatif au cube moins cinq, ce qui équivaut à moins six. Nous pouvons prendre la constante un tiers en dehors du signe d’intégration et réécrire un sur 𝑢 au carré comme 𝑢 à la puissance moins deux. Et nous savons que l’intégrale de 𝑢 à la puissance moins deux est 𝑢 à la puissance moins un divisé par moins un, ou moins 𝑢 à la puissance moins un, qui peut alors être écrit comme moins un sur 𝑢.

Nous substituons moins quatre et moins six. Et nous obtenons un sixième de moins un sur moins quatre moins moins un sur moins six. Eh bien, moins un sur moins quatre ne représente qu’un quart. Et moins un sur moins six est un sixième. Nous soustrayons ces fractions en créant un dénominateur commun. Et nous voyons que la valeur moyenne de notre fonction est un sixième fois un douzième, ce qui donne un sur 72.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment utiliser la formule de l’inverse de la valeur moyenne d’une fonction pour nous aider à calculer les valeurs manquantes.

La valeur moyenne de 𝑓 sur 𝑥 est égale à moins six 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins un sur l’intervalle fermé zéro à 𝑏 est égale à zéro. Trouvez toutes les valeurs possibles de 𝑏.

Rappelez-vous, la formule pour la valeur moyenne d’une fonction 𝑓 sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 est un sur 𝑏 moins 𝑎 fois l’intégrale évaluée entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est égale à moins six 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins un. Et nous voyons que 𝑎 égale zéro, et nous ne connaissons pas la valeur de 𝑏. Nous commençons donc par substituer dans la formule ce que nous savons de la valeur moyenne de notre fonction.

Nous obtenons un sur 𝑏 moins zéro, ce qui est bien sûr un sur 𝑏. Et nous multiplions cela par l’intégrale définie de six 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins un évalué entre zéro et 𝑏. Nous savons cependant que la valeur moyenne de notre fonction est égale à zéro. Donc, nous pouvons dire que cela égale zéro.

Commençons donc à évaluer notre intégrale. L’intégrale de moins six 𝑥 au carré est moins six 𝑥 au cube sur trois. L’intégrale de six 𝑥 est six 𝑥 au carré sur deux. Et l’intégrale de moins un est moins 𝑥. Substituons 𝑏 et zéro dans cette expression. Nous voyons que zéro est égal à un sur 𝑏 fois moins deux 𝑏 au cube plus trois 𝑏 au carré moins 𝑏. Et puis on divise par 𝑏. Et donc nous obtenons moins deux 𝑏 au carré plus trois 𝑏 moins un égale zéro. Et nous voyons que nous avons une équation du second degré.

Multiplions alors par moins un. Ensuite, nous factoriserons l’expression deux 𝑏 au carré moins trois min plus un. Lorsque nous le faisons, nous voyons que deux 𝑏 moins un fois 𝑏 moins un doit égaler zéro. Et pour que cette affirmation soit vraie, soit deux 𝑏 moins un doit être égal à zéro, soit 𝑏 moins un doit être égal à zéro. Et nous résolvons pour 𝑏. Et nous voyons que 𝑏 doit être égal à un demi ou à un.

Trouvez toutes les valeurs de 𝑐 tels que 𝑓 de 𝑐 égale la valeur moyenne de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux le tout au carré sur l’intervalle fermé moins un à cinq.

Nous commençons par rappeler la formule de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. C’est un sur 𝑏 moins 𝑎 fois l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 évaluée entre 𝑎 and 𝑏. Nous voyons que 𝑓 de 𝑥 ici est 𝑥 moins deux le tout au carré. Et notre intervalle est de moins un à cinq inclusivement. Nous disons donc que 𝑎 égale moins un et que 𝑏 égale cinq.

La valeur moyenne de cette fonction sur cet intervalle fermé est donc égale à un sur cinq moins moins un fois l’intégrale évaluée entre moins un et cinq de 𝑥 moins deux le tout au carré par rapport à 𝑥. Et il y a plusieurs façons d’évaluer cette intégrale définie. Nous pourrions chercher à distribuer les parenthèses. Alternativement, on remarque que si nous considérons 𝑢 égal à 𝑥 moins deux, on obtient alors d𝑢 sur d𝑥 égal à un, ce qui signifie que l’on peut dire que d𝑢 doit être égal à d𝑥.

Et nous pouvons donc utiliser l’intégration par substitution. Nous remplaçons 𝑥 moins deux par 𝑢 et d𝑥 par d𝑢. Mais nous devons toujours traiter les bornes. Nous utilisons donc notre définition de 𝑢. Et nous voyons que lorsque 𝑥 égale cinq, 𝑢 égale cinq moins deux, ce qui est bien sûr trois. Nous voyons aussi que lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑢 est moins un moins deux, ce qui donne moins trois. Et la valeur moyenne de notre fonction est un sixième de l’intégrale évaluée entre moins trois et trois de 𝑢 au carré par rapport à 𝑢. Et l’intégrale de 𝑢 au carré est 𝑢 cube sur trois. Et lorsque nous substituons nos bornes dans l’expression, nous obtenons un sixième de trois au cube sur trois moins moins trois au cube sur trois, ce qui correspond simplement à trois.

Nous n’avons pas tout à fait terminé. Nous essayons de trouver les valeurs de 𝑐 telles que 𝑓 de 𝑐 soit égal à la valeur moyenne de 𝑓 de 𝑥 sur cet intervalle fermé, autrement dit, lorsque 𝑓 de 𝑐 est égale à trois. 𝑓 de 𝑐 est 𝑐 moins deux le tout au carré. Nous cherchons donc à savoir quand 𝑐 moins deux le tout au carré est égal à trois. Nous allons donc résoudre cette équation pour 𝑐. Nous prenons la racine carrée des deux membres de notre équation, sans oublier de trouver une racine carrée positive et une racine carrée négative de trois. Et puis on ajoute deux aux deux membres. Et nous obtenons 𝑐 égale deux plus racine de trois et deux moins racine de trois.

Dans notre dernier exemple, nous verrons l’interprétation géométrique de cette formule concernant les représentations graphiques des fonctions.

Quelle est la valeur moyenne de cette fonction sur l’intervalle fermé moins cinq à quatre ?

Nous commençons par rappeler la formule de la valeur moyenne d’une fonction dans un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. C’est un sur 𝑏 moins 𝑎 fois l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 évaluée entre 𝑎 et 𝑏. Dans notre cas, les bornes sont quatre et moins cinq. C’est donc un sur quatre moins moins cinq fois cette intégrale définie. Ce graphique, cependant, représente une fonction définie par morceaux composée d’un certain nombre de différentes fonctions.

Au lieu de déterminer la fonction à chaque point, nous allons rappeler la définition la plus élémentaire de l’intégrale d’une fonction. Cela nous permet de déterminer l’aire nette entre la représentation graphique de la fonction et l’axe des 𝑥. Nous pouvons donc déterminer l’aire située entre la représentation graphique de cette fonction et l’axe des 𝑥 en répartissant en sous-intervalles, et en nous rappelant que lorsque nous évaluons l’aire située sous l’axe des 𝑥, nous obtenons une valeur négative.

Nous allons commencer par déterminer l’aire de ce triangle. La formule pour l’aire d’un triangle est un demi fois la base fois la hauteur. Donc l’aire de ce triangle est un demi fois un fois quatre, ce qui correspond à deux unités d’aire. Comme ce triangle est situé sous l’axe des 𝑥, nous donnons à cela une valeur de moins deux dans notre intégrale. Notre triangle suivant est situé au-dessus de l’axe des 𝑥. Son aire est un demi fois deux fois un, ce qui donne une unité d’aire. Alors on ajoute un.

La figure suivante que nous allons rencontrer est un trapèze, bien que nous ayons pu la répartir en un triangle et un carré. Son aire est un demi fois quatre plus trois fois trois, soit 10.5 unités d’aire. Nous ajoutons donc 10.5. Nous trouvons ensuite un deuxième trapèze, qui a une aire d’un demi fois trois plus deux fois un, soit 2.5 unités d’aire. Et nous avons un dernier trapèze, qui a une aire d’un demi fois quatre plus deux fois deux, ce qui donne trois unités d’aire. Ou nous trouvons la somme de ces valeurs, qui est égale à l’intégrale évaluée entre moins cinq et quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous voyons que la valeur moyenne de notre fonction est donc un neuvième fois 15, soit cinq tiers.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons déterminer la valeur moyenne d’une fonction 𝑓 sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 étant donné que 𝑓 est intégrable en utilisant la formule un sur 𝑏 moins 𝑎 fois l’intégrale évaluée entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous avons vu que ce processus peut être appliqué à des fonctions plus complexes telles que celles nécessitant une intégration par substitution. Enfin, nous avons vu que lorsqu’on a le graphique d’une fonction, il est parfois plus facile de déterminer l’aire située entre la représentation graphique et l’axe des 𝑥 que d’essayer d’évaluer une intégrale.