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Vidéo question :: Ajouter deux vecteurs en utilisant leurs composantes Mathématiques • Première secondaire

Étant donnés 𝚨 = (9 ; −12) et 𝚩 = (13 ; −1), déterminez 𝚨 + 𝚩.

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Transcription de la vidéo

Étant donnés les vecteurs 𝚨 de composantes neuf, moins 12 et 𝚩 de composantes 13, moins un, déterminez la somme vecteur 𝚨 plus vecteur 𝚩.

Dans cette question, nous avons deux vecteurs, et ceux-ci sont donnés par leurs composantes : le vecteur 𝚨 et le vecteur 𝚩. Nous devons trouver la somme de ces deux vecteurs. Et pour ce faire, nous avons quelques options. Le moyen le plus simple est de rappeler exactement ce que nous entendons par une addition vectorielle. Si on nous donne deux vecteurs de même dimension et qu’on nous demande de les additionner, alors nous pouvons le faire en fonction des composantes. Par exemple, le vecteur 𝑢 𝑥, 𝑢 𝑦 plus le vecteur 𝑣 𝑥, 𝑣 𝑦 est égal au vecteur 𝑢 𝑥 plus 𝑣 𝑥, 𝑢 𝑦 plus 𝑣 𝑦. Tout ce que nous faisons est d’additionner les composantes correspondantes pour créer un nouveau vecteur.

Puisque dans cette question, le vecteur 𝚨 et le vecteur 𝚩 sont tous deux des vecteurs du plan, parce que chaque vecteur a deux composantes, nous pouvons les additionner en utilisant cette méthode. Tout ce que nous devons faire est d’additionner les composantes correspondantes. Nous additionnons les premières composantes pour obtenir neuf plus 13. Et nous additionnons les deuxièmes composantes pour obtenir moins 12 plus moins un. Ensuite, nous évaluons simplement chacune de ces expressions. Neuf plus 13 est égal à 22, et moins 12 plus moins un est égal à moins 13. Et cela donne pour réponse finale le vecteur 22, moins 13.

Cependant, ce n’est pas la seule façon de répondre à cette question, et nous pouvons le faire graphiquement. Cependant, cela demandera un peu plus de travail. Pour ce faire, nous devons d’abord rappeler que lorsque nous avons un vecteur du plan, nous pouvons l’esquisser en ayant la première composante comme composante horizontale du vecteur et la deuxième composante comme composante verticale du vecteur. Donc, dans notre cas, le vecteur 𝚨 aura pour composante horizontale neuf et pour composante verticale moins 12. Donc, pour le vecteur 𝚨, la variation de 𝑥 doit être de neuf, et la variation de 𝑦 doit être de moins 12.

Et une façon de visualiser cela est que nous commençons au point initial du vecteur 𝚨 et finissons au point terminal du vecteur 𝚨. Ensuite, nous avons dû augmenter la composante horizontale de neuf et diminuer la composante verticale de 12. Nous allons ensuite faire exactement la même chose pour le vecteur 𝚩. Cependant, nous devons d’abord remarquer quelque chose. Nous voulons calculer le vecteur 𝚨 plus le vecteur 𝚩. Étant donné que lorsque nous ajoutons des vecteurs ensemble, nous voyageons le long de ces deux vecteurs, le vecteur 𝚩 va devoir commencer au point terminal du vecteur 𝚨. En gardant cela à l’esprit, nous allons avoir besoin que le vecteur 𝚩 ait pour composante horizontale 13 et pour composante verticale moins un.

Et nous allons commencer au point terminal du vecteur 𝚨. Cela nous donne le croquis suivant pour le vecteur 𝚩. Le vecteur 𝚩 a pour composante horizontale 13 et pour composante verticale moins un. Nous sommes maintenant prêts à trouver le vecteur 𝚨 plus le vecteur 𝚩. Et il est facile de le faire graphiquement maintenant parce que nous avons configuré les vecteurs 𝚨 et 𝚩 de cette manière. Maintenant, le vecteur 𝚨 plus 𝚩 va commencer au point initial du vecteur 𝚨 et se terminer au point terminal du vecteur 𝚩. Et nous pouvons voir, dans notre diagramme, la composante horizontale du vecteur 𝚨 plus le vecteur 𝚩 va juste être neuf plus 13. Et la composante verticale va être moins 12 plus moins un, ce qui nous donne exactement la même réponse.

Par conséquent, nous avons pu montrer si 𝚨 est le vecteur neuf, moins 12 et 𝚩 est le vecteur 13, moins un, alors le vecteur 𝚨 plus 𝚩 sera égal au vecteur 22, moins 13.

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