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Vidéo de question : Déterminer l’aire sous une courbe Mathématiques

La courbe suivante a pour équation 𝑦 = 1 / 𝑥. Quelle est l’aire de la région colorée ? Donnez une réponse exacte.

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Transcription de vidéo

La courbe suivante a pour équation 𝑦 égal à un divisé par 𝑥 . Quelle est l’aire de la région colorée ? Donnez une réponse exacte.

On nous donne une courbe représentative de 𝑦 égal à un sur 𝑥. Et nous avons une région colorée sur ce graphe. Nous devons déterminer l’aire de cette région colorée et il faut donner un résultat exact. Tout d’abord, voyons à quoi correspond cette région. Nous pouvons voir qu’elle est délimitée par la droite 𝑥 égale un et la droite 𝑥 égale un tiers. Nous pouvons également voir que cette région est délimitée en dessous par l’axe des 𝑥. C’est-à-dire que, toute cette région se situe au-dessus de l’axe des 𝑥. Enfin, la région est délimitée au-dessus par la courbe 𝑦 égal à un sur 𝑥.

Pour déterminer l’aire sous cette courbe, rappelons ce qu’est une intégrale finie. Nous savons que si une fonction 𝑓 de 𝑥 est continue pour des valeurs de 𝑥 comprises entre 𝑎 et 𝑏, alors l’aire délimitée par la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, la droite 𝑥 égale à 𝑎 et la droite 𝑥 égale à 𝑏 est donnée par l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 à condition que 𝑓 de 𝑥 soit supérieure ou égale à zéro lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑎 et inférieur ou égal à 𝑏. C’est-à-dire que, nous pouvons déterminer l’aire d’une région délimitée par une courbe en utilisant une intégrale.

Et en fait, c’est ce que nous avons ici. Tout d’abord, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à un sur 𝑥. Nous pouvons voir que la région est délimitée par les droites 𝑥 égal à un et 𝑥 égal à un tiers. Nous allons donc définir 𝑏 égal à un et 𝑎 égal à un tiers. Et bien sûr, nous savons déjà que cette région est délimitée par l’axe des 𝑥. Enfin, pour utiliser l’intégration, il faut que notre fonction soit continue sur cet intervalle. Ça tombe bien, un sur 𝑥 est une fonction rationnelle, donc elle est continue partout sauf lorsque son dénominateur s’annule. Donc son seul point de discontinuité est lorsque 𝑥 est égal à zéro. En particulier, ceci signifie qu’elle est continue sur cet intervalle.

Nous pouvons donc déterminer l’aire de la région qui nous intéresse sur ce diagramme en calculant l’intégrale de un tiers à un de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour calculer cette intégrale, rappelons que la primitive de la fonction inverse par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶. Bien sûr, ici, nous calculons une intégrale finie. Nous n’avons donc pas besoin de la constante d’intégration. Elle va s’annuler dans le calcul. Nous avons donc maintenant le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 à prendre entre les bornes d’intégration 𝑥 égal à un tiers et 𝑥 égal à un.

Alors il nous reste à faire le calcul entre les bornes d’intégration. Nous obtenons le logarithme naturel de la valeur absolue de un moins le logarithme naturel de la valeur absolue d’un tiers. Et nous pouvons évidemment simplifier cette expression. D’abord, la valeur absolue de un est égale à un. Et le logarithme naturel de un est égal à zéro. Et bien sûr la valeur absolue d’un tiers est égale à un tiers. Donc, nous obtenons moins le logarithme naturel d’un tiers. Et nous pourrions laisser le résultat comme cela. Mais il reste encore une simplification que nous pouvons faire.

Rappelons la loi des logarithmes pour les puissances. Pour le logarithme naturel, elle nous dit que 𝑎 fois le logarithme naturel de 𝑏 est égal au logarithme naturel de 𝑏 puissance 𝑎. Donc en utilisant cette loi, au lieu de multiplier le logarithme naturel par moins un, nous pouvons plutôt élever un tiers à la puissance moins un. Donc, en utilisant la loi des logarithmes sur les puissances, nous avons maintenant le logarithme naturel d’un tiers puissance moins un. Autrement dit, il faut prendre l’inverse d’un tiers. Mais l’inverse d’un tiers est égal à trois. Donc, cela se simplifie pour donner le logarithme naturel de trois.

Par conséquent, en utilisant l’intégration, nous avons donc calculé l’aire de la région représentée sur le graphe. Cette région est délimitée par la courbe 𝑦 égal à un sur 𝑥, l’axe des 𝑥, la droite 𝑥 égal à un et la droite 𝑥 égal à un tiers. Et nous avons déterminé que cette aire est égale au logarithme naturel de trois.

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