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Vidéo de question : Déterminer l’angle entre deux droites coupant des franges lumineuses et sombres Physique

Une lumière avec une longueur d’onde de 597 nm traverse une feuille dans laquelle se trouvent deux fentes étroites et parallèles, distantes de 7,64 𝜇m. La lumière des fentes est incidente sur un écran parallèle à la feuille, où un motif de franges lumineuses et sombres est observé. Une droite L est perpendiculaire à la surface de la feuille et à la direction des fentes, coupant la frange centrale lumineuse du motif sur l’écran. Deux droites, la droite I et la droite II, coupent L au niveau de la feuille. La droite I coupe le centre de la frange sombre la plus proche de la frange lumineuse centrale et la droite II coupe le centre de la frange lumineuse la plus proche de la frange lumineuse centrale. Les deux droites I et II sont du même côté par rapport à la droite L. Quel est l’angle entre la droite I et la droite II ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.

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Transcription de vidéo

Une lumière avec une longueur d’onde de 597 nanomètres traverse une feuille dans laquelle se trouvent deux fentes étroites et parallèles, distantes de 7,64 micromètres. La lumière des fentes est incidente sur un écran parallèle à la feuille, où un motif de franges lumineuses et sombres est observé. Une droite L est perpendiculaire à la surface de la feuille et à la direction des fentes, coupant la frange centrale lumineuse du motif sur l’écran. Deux droites, la droite I et la droite II, coupent L au niveau de la feuille. La droite I coupe le centre de la frange sombre la plus proche de la frange lumineuse centrale et la droite II coupe le centre de la frange lumineuse la plus proche de la frange lumineuse centrale. Les deux droites I et II sont du même côté par rapport à la droite L. Quel est l’angle entre la droite I et la droite II ? Donnez votre réponse à une décimale près.

Nous avons construit ce schéma en utilisant les informations que la question nous a données. Donc, faisons de l’espace en supprimant une partie de la question. Maintenant, pour trouver l’angle entre la droite I et la droite II, regardons simplement les droites, la droite I, la droite II et la droite L. La droite L traverse le centre des fentes jusqu’au point lumineux central de l’écran. Cela signifie que lorsque la lumière traverse les deux fentes, elle interfère de manière constructive en ce point. Une interférence constructive se produit lorsque la différence de longueur de trajet de deux ondes est 𝑛𝜆, où 𝑛 est un entier et 𝜆 est la longueur d’onde des ondes.

Dans le cas de cette frange lumineuse centrale, il n’y a pas de différence de longueur de trajet entre les deux ondes. Les deux ondes parcourent la même distance, ce qui signifie que la différence de longueur de trajet pour les deux ondes qui composent la frange lumineuse centrale est nulle, ce qui satisfait toujours l’équation de l’interférence constructive, puisque zéro est un entier. Ainsi, la valeur de 𝑛 pour la frange lumineuse centrale est zéro. La raison pour laquelle nous nous soucions de la différence de longueur de trajet est parce que nous pouvons utiliser une équation qui relie la distance entre les deux fentes avec cette différence de longueur de trajet. Cette équation 𝑑 sin 𝜃 égale à la différence de longueur de trajet contient un angle qui est exactement ce que nous devons résoudre pour l’angle entre la droite I et la droite II. Nous verrons à quel angle ce 𝜃 fait référence plus tard.

Pour l’instant, concentrons-nous sur la recherche de la différence de longueur de trajet pour les droites I et II. Pour l’instant, nous allons simplement déplacer l’équation ici pour ne pas l’oublier. Voyons maintenant notre droite qui se termine à notre autre point lumineux, qui est en fait la droite II. La droite II se termine au point le plus proche du point lumineux central, soit celui avec la droite L. Des franges lumineuses se produisent là où il y a une interférence constructive, et une interférence constructive ne se produit que lorsque la différence de longueur de trajet est égale à 𝑛𝜆, où 𝑛 est un entier. Donc, puisque la frange lumineuse centrale a un 𝑛 de zéro, la frange lumineuse suivante doit avoir un 𝑛 qui est exactement plus grand de un, donc 𝑛 est égal à un ici. Cela signifie que la différence de longueur de trajet pour la frange lumineuse à la fin de la droite II, qui est une interférence constructive, est un 𝜆, ou simplement 𝜆.

Maintenant, regardons la droite I qui se termine à la première frange sombre. Les franges sombres sont les espaces d’obscurité entre les franges lumineuses et se produisent là où il y a des interférences destructives. Une interférence destructive se produit lorsque la différence de longueur de trajet de deux ondes est le produit de 𝑛 plus un demi et 𝜆, où 𝑛 est un entier et 𝜆 est la longueur d’onde des deux ondes, mais ici 𝑛 se réfère aux franges sombres au lieu des franges lumineuses. Donc, où 𝑛 est égal à zéro, nous aurions la première frange sombre de l’écran, tout comme pour une interférence constructive, 𝑛 est égal à zéro se réfère à la première frange lumineuse de l’écran. Donc, puisque la droite I est la première frange sombre depuis la frange lumineuse centrale, son 𝑛 est égal à zéro. Cela signifie que sa différence de longueur de trajet est de zéro plus un demi fois 𝜆, ce qui est bien sûr un demi de 𝜆, ou 𝜆 sur deux.

Maintenant que nous avons les différences de longueur de trajet pour la droite I et la droite II, voyons d’où vient exactement 𝜃 en regardant de plus près ces fentes. Lorsque nous avons suffisamment zoomé pour voir réellement 𝑑 qui, rappelez-vous, est à l’échelle des micromètres, l’angle que forment les ondes lumineuses lorsqu’elles traversent les fentes est extrêmement similaire, ce que nous pouvons voir en traçant des lignes normales à la fentes. Les différences d’angles entre ces deux ondes sont si faibles que nous pouvons les considérer comme le même angle, même si nous savons qu’elles convergent éventuellement sur l’écran opposé.

Donc, ces deux droites forment les mêmes angles entre elles. Mais où 𝜃 entre-t-il en jeu ? Il s’avère que 𝜃 vient en fait d’un angle proche de 𝑑. Si nous traçons une droite de la fente supérieure vers le bas jusqu’à la première onde lumineuse telle qu’elle forme un angle de 90 degrés avec l’onde lumineuse, alors cet angle 𝜃 est ici. La base du triangle ici qui se forme alors exprime la différence de distance parcourue par ces deux ondes lumineuses, c’est-à-dire que la longueur de la base de ce triangle est la différence de longueur du trajet entre ces deux ondes. Il semble donc que nous ayons tout ce dont nous avons besoin pour trouver 𝜃. Nous avons 𝑑, et nous avons la différence de longueur de trajet.

Mais cet angle 𝜃 semble assez étrange, car il n’est pas dans l’orientation que nous attendrions pour mesurer les angles entre la droite I et la droite II. Nous voudrions en fait un des angles ici qui, rappelez-vous, sont essentiellement le même angle, ce qui signifie que si nous avions une droite venant du centre comme, disons, la droite L, alors nous pourrions traiter ces deux ondes lumineuses comme une seule onde de lumière venant du centre. Et nous pourrions mesurer cet angle là-bas, et ce serait le même que ceux au-dessus et en dessous. Cette droite est alors en fait la droite I ou II, car elle va directement à l’une des franges. Il suffit donc de trouver l’angle entre la droite L et la droite I ou II, l’angle qui est encore une fois le même que les angles entre les triangles supérieur et inférieur. Nous pouvons donc trouver cet angle ici comme faisant partie du petit triangle.

Pour l’instant, appelons cet angle 𝜃 𝐴. Lorsque nous regardons notre petit triangle ici, nous voyons que nous avons deux autres angles, un angle droit et un autre petit angle ici, que nous pouvons appeler 𝜃 𝐵. Et nous pouvons voir que 𝜃 𝐵 est aussi un angle présent dans ce grand triangle ici. En notant que ce grand triangle a un angle droit ici, nous pouvons alors voir que le plus grand triangle est composé de trois angles 𝜃, 𝜃 𝐵 et de cet angle droit. Et de même, le plus petit triangle est constitué des angles 𝜃 𝐴, 𝜃 𝐵 et de l’angle droit. Côte à côte, ces triangles ressemblent à quelque chose comme ça, à la fois avec un angle droit, un angle 𝜃 𝐵, puis l’angle 𝜃 ou 𝜃 𝐴. Et comme ceux sont deux triangles, ils doivent contenir le même nombre de degrés, ce qui signifie que 𝜃 doit être égal à 𝜃 𝐴.

Cela signifie que l’angle entre la droite L et la droite I ou II sera l’angle 𝜃, qui varie selon que nous regardons les rayons de la droite I, de la droite II ou de toute autre droite que nous pourrions tracer. Donc, tout ce que nous avons à faire maintenant pour trouver l’angle entre la droite I et la droite II est de déterminer 𝜃 dans cette équation. Commençons par trouver l’angle entre la droite L et la droite I, que nous désignerons avec un indice un pour 𝜃. La différence de longueur de trajet pour la droite un est 𝜆 sur deux. Nous voulons ensuite isoler sin 𝜃 un, ce que nous ferons en divisant les deux côtés par 𝑑, provoquant l’annulation des 𝑑 du côté gauche de l’équation. Et du côté droit, le 𝑑 entre simplement dans le dénominateur.

Nous pouvons alors prendre le sinus inverse des deux côtés, ce qui entraîne l’annulation du sinus d’origine du côté gauche et laisse seulement 𝜃 un. La valeur de 𝜆 est de 597 nanomètres, ou écrite légèrement différemment 597 fois 10 puissance moins neuf mètres. Et 𝑑, la distance entre les deux fentes, est de 7,64 micromètres, ce qui est 7,64 fois 10 puissance moins six mètres en notation scientifique. En insérant ces valeurs dans l’équation et en utilisant nos calculatrices, nous constatons que la valeur de 𝜃 un, l’angle entre la droite L et la droite I, est égale à environ 2,239 degrés.

Maintenant, trouvons 𝜃 deux, qui est l’angle entre la droite II et la droite L. Nous allons donc utiliser une différence de longueur de trajet de 𝜆. L’équation est réduite de la même manière. Les deux côtés sont divisés en premier par 𝑑. Et puis le sinus inverse est pris des deux côtés, laissant 𝜃 deux. La longueur d’onde est de 597 fois 10 puissance moins neuf mètres, et la distance entre les fentes est de 7,64 fois 10 puissance moins six mètres. Lorsque nous mettons ces valeurs dans notre calculatrice, nous obtenons 4,482 degrés.

La dernière chose que nous devons faire est de trouver l’angle entre la droite I et la droite II. Cela signifie donc que nous devons simplement trouver la différence entre ces deux angles. Donc, 𝜃 deux moins 𝜃 un est égal à 4,482 degrés moins 2,239 degrés, ce qui est à peu près égal à 2,24 degrés, qui arrondi à une décimale près est égal à 2,2 degrés. Ainsi, l’angle entre la droite I et la droite II à une décimale près est de 2,2 degrés.

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