Vidéo de la leçon : Loi de Newton sur la gravitation universelle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprenons le développement de la loi de gravitation universelle de Newton, le but de la constante gravitationnelle 𝐺, et comment utiliser la loi gravitationnelle pratiquement.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir la loi de Newton sur la gravitation universelle. Nous verrons ce que dit cette loi, comment elle a été élaborée et comment nous pouvons l’appliquer pratiquement. Pour commencer, imaginez que vous avez vécu au temps d’Isaac Newton dans les années 1600. Pendant ce temps, les scientifiques étaient confrontés à un défi difficile. D’une part, grâce à des observations astronomiques, ils avaient des preuves claires que les planètes, les corps célestes qu’ils appelaient, se déplaçaient les uns sur les autres sur des orbites régulières.

Sur cette base, il semblait clair qu’il y avait une sorte d’attraction entre ces masses lorsqu’elles se déplaçaient. Mais d’un autre côté, sur la planète Terre avec des masses régulières de taille quotidienne, il n’y avait aucun sens que ces masses s’attireraient même si elles étaient tenues très proches. Pour le moment, il semblait que les lois physiques régissant les corps massifs, les corps célestes de la taille des planètes, pouvaient avoir une forme différente ou simplement être fondamentalement différentes des lois régissant la taille quotidienne des objets plus tangibles.

Pour voir comment ces deux mondes ont été réunis, il sera utile de se renseigner sur la loi de Newton de la gravitation universelle. Selon l’histoire, Isaac Newton se reposait un jour sous un pommier méditant sur tous ces mystères. Ensuite, dit-il, une pomme tombe de l’arbre, le frappe à la tête et il a une grande idée. Il y a de fortes chances que l’histoire ne soit pas exacte. Mais néanmoins, cela montre comment la loi de Newton relie les objets quotidiens que nous connaissons avec des objets beaucoup plus grands à l’échelle de la taille de notre planète ou d’autres planètes.

L’une des raisons pour lesquelles cette loi est si significative est qu’elle est vraiment universelle. Il s’applique à toutes les masses, quelle que soit leur taille, quelle que soit leur taille, et où qu’elles se trouvent dans l’univers. Compte tenu de l’ampleur de ce développement, il est remarquable que dans une simple déclaration, il soit possible de résumer la force d’attraction gravitationnelle entre deux masses quelconques. Mais c’est exactement ce que Newton a fait avec l’aide de ses contemporains. Cette loi universelle dit que la force gravitationnelle entre deux objets, la masse un et la masse deux, est égale à leur produit divisé par le carré de la distance entre eux.

C’est l’épine dorsale de la loi de Newton d’un point de vue physique. Et cette valeur est ensuite multipliée par une valeur constante appelée grand 𝐺. Cette valeur, appelée constante gravitationnelle universelle, a été développée afin de faire fonctionner les unités dans l’expression globale. Il a sa propre histoire intéressante de développement. Mais avant de raconter cette histoire, considérons le reste de cette loi universelle de la gravitation. Parfois, cette loi, qui est l’une des équations les plus connues en physique, peut devenir si familière que nous perdons de vue, ce qui la rend spéciale. Au moment de son élaboration, cette loi n’était cependant pas du tout évidente.

Par exemple, considérons le dénominateur où nous voyons un terme 𝑟 au carré. Cela signifie que la loi universelle de gravitation est une loi carrée inverse. Bien que nous voyions ces lois à travers la physique, c’est toujours un résultat frappant. Pourquoi un sur 𝑟 au carré ? Pourquoi pas un sur 𝑟 cube ou un sur 𝑟 puissance 1.99 ? Ou même pourquoi la force de gravité devrait-elle diminuer avec l’augmentation de la distance ? Toutes les alternatives auxquelles nous pouvons penser pour une relation un sur 𝑟 au carré nous rappellent à quel point cette loi est spéciale et comment elle aide à établir la structure de notre univers.

Passons maintenant à l’examen des valeurs de masse 𝑚 un et 𝑚 deux. Cette loi nous dit que si nous avons deux objets de n’importe quelle forme, tant qu’ils ont une masse, il y a une force d’attraction gravitationnelle entre eux. Nos masses pourraient être des sphères ou des blocs ou des crocodiles ou des atomes. Tous les objets qui ont une masse respectent la norme et ont donc une force gravitationnelle entre eux. Quelles que soient les formes de nos deux masses, lorsque nous parlons de la distance entre elles, nous parlons de la distance entre leurs centres de masse, où que ces centres soient situés dans la masse globale elle-même.

Maintenant, disons que nous essayons une expérience. Et si nous obtenons deux masses et que nous posons leurs masses égales exactement à un kilogramme et que nous séparons ces masses d’un mètre exactement ? Nous pouvons donc voir quand nous regardons cette loi de la gravitation que nous aurons une équation qui lit la force d’attraction gravitationnelle entre ces deux masses d’un kilogramme est égale à un kilogramme fois un kilogramme, ce qui correspond à un kilogramme carré, partout un mètre carré fois 𝐺, cette constante gravitationnelle.

Afin de montrer pourquoi cette constante gravitationnelle est nécessaire, imaginons une seconde qu’elle n’est pas là. En d’autres termes, posons un égal et voyons ce que nous obtenons à la suite de ce calcul. Si grand 𝐺 avait cette valeur sans unité, cela signifierait que la force d’attraction gravitationnelle entre ces deux masses est d’un kilogramme au mètre carré. Mais attendez une seconde, nous savons que la force est mesurée en unités de newtons et qu’un newton a des unités de base d’un kilogramme mètre par seconde au carré. Cela signifie que les deux côtés de notre équation ne s’additionnent pas lorsque nous posons grand 𝐺 égal à un seul.

Nous entrons maintenant dans la raison entière de l’existence de la constante gravitationnelle en premier lieu. Nous voyons que si elle n’est pas là — c’est-à-dire si elle est juste égal à un — alors toute notre expression de la force d’attraction gravitationnelle n’a pas de sens. Isaac Newton a postulé cette constante afin de donner aux forces gravitationnelles la bonne amplitude ainsi que les bonnes unités. La gravité en tant que plus faible des quatre forces fondamentales crée une force d’attraction entre deux masses d’un kilogramme séparées par un mètre de beaucoup moins qu’un newton. Donc, 𝐺 sert un double but. Il nous donne les bonnes unités pour notre expression ainsi qu’une amplitude qui correspond à l’expérience.

Nous avons dit que la gravité est une force faible par rapport aux quatre autres forces fondamentales de l’électromagnétisme et des forces nucléaires fortes et faibles. Une façon de voir que la faiblesse dans l’action est de prendre deux objets ménagers que nous pourrions rencontrer, disons un crayon et un verre d’eau. Si nous tenons ces deux objets ensemble, nous ne pouvons pas sentir la force d’attraction gravitationnelle entre eux. C’est tout simplement trop faible. D’un autre côté, si nous avions deux aimants, un dans chaque main, nous pourrions certainement ressentir la force d’attraction ou de répulsion entre eux lorsqu’ils se rapprochaient.

Tout cela pour dire que la constante de gravitation universelle grand 𝐺 est une très petite valeur. Ce n’en est pas un. En fait, c’est beaucoup moins qu’un. Il est si petit en fait qu’il est très difficile de mesurer grand 𝐺. L’une des mesures les plus précises et les plus ingénieuses de cette constante gravitationnelle a été placée sous la surveillance d’un gentleman nommé Henry Cavendish. Dans son expérience, Cavendish a suspendu un fil métallique très très mince à un cadre solide. De l’extrémité de ce fil, il a suspendu un petit morceau de métal qui avait des masses de valeurs soigneusement mesurées à chaque extrémité. Une fois que ce système s’était stabilisé et ne bougeait ni ne se tordait de toute façon, Cavendish a amené deux masses lourdes relativement grandes près des côtés opposés des petites masses suspendues.

En réponse à l’attraction gravitationnelle, les petites masses suspendues se sont déplacées très légèrement vers les plus grandes, provoquant une torsion dans le fil. Cavendish a pu mesurer cette torsion avec une grande précision. Et comme il connaissait toutes les masses impliquées ainsi que les distances qui les séparaient, il avait des valeurs pour 𝑚 un, 𝑚 deux, 𝑟 ainsi que la force, 𝐹, la force de torsion agissant sur le fil. En d’autres termes, il avait tous les ingrédients nécessaires pour arriver à une valeur de 𝐺. La valeur de 𝐺 que Cavendish a trouvée est très proche de la valeur que nous utilisons souvent aujourd’hui, à savoir que 𝐺 est approximativement égal à moins 6.67 fois 10 au 11e mètre cube par kilogramme seconde au carré.

En regardant cette valeur, deux choses ressortent peut-être : un, 𝐺 est en effet petit beaucoup plus petit qu’un, et, deux, il a un étrange ensemble d’unités attachées. Mais, rappelez-vous, les unités de 𝐺 sont conçues pour que le reste de la loi universelle de la gravitation ait des unités cohérentes. Des mesures pour des valeurs de 𝐺 plus en plus précises de go continuent encore aujourd’hui. Pour nos besoins cependant, nous serons bien servis pour utiliser cette valeur donnée pour 𝐺, très proche de celle que Cavendish a trouvée expérimentalement. Prenons un peu de pratique avec la loi de Newton de la gravitation universelle à travers un exemple.

Un astéroïde a une masse de 4.7 fois 10 au 13e kilogramme. L’astéroïde passe près de la Terre, et à son approche la plus proche, la séparation des centres de masse de l’astéroïde et de la Terre est quatre fois le rayon orbital moyen de la Lune. Quelle force l’astéroïde exerce-t-il sur la Terre à sa distance minimale de la Terre ? Utilisez une valeur de 384 400 kilomètres pour le rayon orbital moyen de la Lune.

Nous allons étiqueter cette force, que nous voulons résoudre, le grand 𝐹 et commencer par dessiner un croquis de la situation. Dans cette situation, notre astéroïde étiqueté 𝑎 passe par la Terre étiquetée 𝐸 à une distance minimale de quatre fois le rayon orbital de la lune autour de la Terre. Étant donné la masse de l’astéroïde 𝑚 sous 𝑎 et le rayon orbital de la lune autour de la Terre 𝑂𝑅 sous 𝑚, nous voulons résoudre la force d’attraction gravitationnelle entre l’astéroïde et la Terre quand elles sont les plus proches. Pour résoudre cette force, nous rappelons que la force d’attraction gravitationnelle entre deux masses quelconques, 𝑚 une et 𝑚 deux, est égale à leur produit divisé par le carré de la distance entre leurs centres de masse tous multipliés par la constante gravitationnelle universelle grand 𝐺.

Nous laisserons cette constante 𝐺 être exactement égale à moins 6.67 fois 10 puissance 11 mètres cube par kilogramme de seconde au carré. Lorsque nous appliquons la relation mathématique de la force gravitationnelle à notre scénario, nous pouvons dire que 𝐹, la force pour laquelle nous voulons résoudre, est égale à 𝐺 fois la masse de la Terre multipliée par la masse de l’astéroïde, divisée par quatre fois le rayon orbital de la Lune au carré. Nous connaissons la valeur du dénominateur qui nous est donnée. Et nous connaissons également la masse de l’astéroïde, ainsi que la constante 𝐺. Il ne reste plus qu’à résoudre la masse de la Terre. Et nous pouvons le faire en recherchant cette valeur.

Une valeur communément acceptée pour la masse de la Terre est de 5.95 fois 10 au 24e kilogramme. Sachant cela, nous sommes prêts à brancher et à résoudre 𝐹. Lorsque nous connectons ces valeurs, nous veillons à convertir le rayon orbital de la Lune en unités de mètres afin qu’il soit cohérent avec les unités dans le reste de notre expression. En parlant d’unités, prenons une seconde pour réfléchir aux unités finales de ce calcul. En regardant dans le numérateur de cette expression globale, nous voyons qu’un facteur de kilogrammes s’annulera. En regardant ensuite les unités de mètres qui apparaissent dans notre expression, nous voyons que le mètre carré au dénominateur enlèvera deux facteurs de mètre dans notre numérateur de sorte que dans l’ensemble nous aurons simplement des mètres au premier.

Les unités du deuxième carré resteront dans notre dénominateur global. Nous nous attendons donc à obtenir des unités finales de kilogrammes mètres par seconde au carré, ce qui correspond aux unités que nous attendons pour une force, c’est-à-dire des unités de newtons. Lorsque nous calculons ce résultat, nous constatons, à deux chiffres significatifs, qu’il est 7.9 fois 10 puissance neuf newtons. C’est la force d’attraction gravitationnelle entre l’astéroïde et la Terre.

Résumons ce que nous avons appris jusqu’à présent sur la loi de gravitation universelle de Newton.

Dans cette vidéo, nous avons vu que la loi de Newton de la gravitation universelle spécifie la force de gravité entre deux masses quelconques séparées par une distance. En équation, il dit que cette force gravitationnelle est égale au produit des masses divisé par le carré de la distance entre leurs centres de masse tous multipliés par cette constante gravitationnelle universelle appelée grand 𝐺. Nous avons également vu que la gravité est la plus faible des quatre forces fondamentales de l’électromagnétisme de gravité et de la force nucléaire forte et faible. Et comme la gravité est une force si faible, nous avons vu que la constante gravitationnelle 𝐺 est difficile à mesurer. Cependant, une valeur de travail pour 𝐺 a été déterminée comme étant de moins 6.67 fois 10 puissance 11 mètre cube par kilogramme de seconde au carré.

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