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Vidéo de question : Calculer la différence de hauteur dans un manomètre à colonne liquide Physique

Le schéma illustre un manomètre à colonne de liquide relié à ses extrémités opposées à deux réservoirs de gaz. Les pressions des réservoirs de gaz sont 𝑃₁ = 123,3 kPa et 𝑃₂ = 110,1 kPa. Le tube en forme de U contient une huile d’une masse volumique de 1080 kg/m³. Quelle est la distance verticale ℎ entre les sommets des colonnes d’huile ? Donnez votre réponse à deux décimales.

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Transcription de vidéo

Le schéma illustre un manomètre à colonne de liquide relié à ses extrémités opposées à deux réservoirs de gaz. Les pressions des réservoirs de gaz sont 𝑃 un est égal à 123,3 kilopascals et 𝑃 deux est égal à 110,1 kilopascals. Le tube en forme de U contient une huile d’une masse volumique de 1080 kilogrammes par mètre cube. Quelle est la distance verticale ℎ entre les sommets des colonnes d’huile ? Donnez votre réponse à deux décimales.

Sur notre schéma, nous voyons cette distance ℎ, la distance verticale entre le haut de la colonne d’huile d’un côté et le haut de cette colonne de l’autre côté. Cette différence de hauteur entre les deux colonnes est due à une différence de pression entre les pressions 𝑃 deux et 𝑃 un. En regardant tout ce système, nous savons qu’il est en équilibre. Cela signifie, par exemple, que la pression 𝑃 deux créée par ce réservoir de gaz qui pousse en haut de la colonne d’huile à gauche est d’amplitude égale à la pression de la colonne d’huile qui repousse ce gaz.

De la même manière, à l’interface de l’autre côté du manomètre, la pression 𝑃 un pousse sur l’huile et l’huile exerce une pression égale et opposée sur le gaz. Ainsi, les interfaces entre l’huile et les deux gaz sont stationnaires ; elles ne bougent pas, car tout notre système est en équilibre.

Pour commencer à calculer la distance verticale ℎ, libérons de l’espace à l’écran. Mais avant de faire cela, notons les informations qui nous sont données dans l’énoncé du problème. Nous connaissons les amplitudes des pressions 𝑃 un et 𝑃 deux, et nous connaissons également la masse volumique de l’huile dans le manomètre. En écrivant ces informations, nous appellerons cette masse volumique 𝜌. Puisque les pressions 𝑃 un et 𝑃 deux ne sont pas les mêmes, il peut sembler étrange que l’huile dans notre manomètre ne soit pas en mouvement. Après tout, la pression à une extrémité de l’huile est différente de la pression à l’autre extrémité. Cette différence de pression est cependant compensée, on pourrait dire, par cette hauteur d’huile du côté gauche du manomètre. Le poids de cette partie de l’huile crée une pression agissant vers le bas qui est transmise à travers l’huile jusqu’à l’autre interface avec celle du gaz 𝑃 un.

Appelons cette pression en raison de la hauteur d’huile ℎ 𝑃 indice huile. Et notez que si nous ajoutons cette pression de l’huile à la pression 𝑃 deux de notre réservoir de gaz à gauche, cette somme sera égale à la pression 𝑃 un. C’est cette équation qui explique comment notre système peut être en équilibre même si 𝑃 un et 𝑃 deux ne sont pas égales. On nous donne les valeurs de 𝑃 un et 𝑃 deux, mais qu’en est-il de la pression due à la hauteur ℎ de l’huile ? On peut rappeler que la pression due à un fluide de masse volumique 𝜌 et de hauteur ℎ est égale à 𝜌 fois 𝑔 fois ℎ. Notez qu’on nous donne la masse volumique de l’huile dans notre manomètre. Nous pouvons alors écrire notre équation d’équilibre de pression comme 𝜌 fois 𝑔 fois ℎ plus 𝑃 deux égale 𝑃 un, puis réorganiser cette équation pour trouver la hauteur ℎ.

Tout d’abord, soustrayons la pression 𝑃 deux des deux côtés. 𝑃 deux moins 𝑃 deux à gauche annule cette valeur. Et puis si nous divisons les deux côtés de l’équation par 𝜌 fois 𝑔, alors 𝜌 et 𝑔 s’annulent à gauche. Cela nous laisse avec cette expression pour la hauteur ℎ sur notre schéma. Et remarquez que nous connaissons 𝑃 un et 𝑃 deux. On nous donne 𝜌 et 𝑔. L’accélération due à la gravité est de 9,8 mètres par seconde carrée.

Avec toutes ces valeurs insérées dans notre équation, la dernière chose que nous voulons faire avant de calculer ℎ est de convertir nos pressions de kilopascals en pascals. La raison pour laquelle nous faisons cela est pour que toutes nos unités soient homogènes. Un pascal, rappelons-le, est égal à un newton par mètre carré. Ces deux unités, newtons et mètres carrés, sont constituées d’unités de base SI. Donc, si nous convertissons nos pressions de kilopascals en pascals, alors toutes les unités du numérateur et du dénominateur seront en accord. Un kilopascal équivaut à 1000 pascals. Donc, dans notre conversion, nous allons multiplier ces deux pressions par 1000. 123,3 fois 1000 font 123 300, puis 110,1 fois 1000 font 110 100.

Maintenant, lorsque nous calculons cette fraction, nous obtenons un résultat de 1,2471 et ainsi de suite avec plus de chiffres mètres. Nous notons cependant que dans notre énoncé du problème, on nous a donné la masse volumique de notre huile à trois chiffres significatifs. Cela signifie que nous devons indiquer notre réponse finale avec ce même nombre de chiffres significatifs. Nous aurons donc un, deux, trois chiffres significatifs, et ce chiffre déterminera si nous arrondissons le chiffre quatre vers le haut ou vers le bas. Puisque sept est supérieur ou égal à cinq, notre réponse s’arrondit vers le haut et nous obtenons 1,25 mètres. C’est la différence de hauteur entre la colonne d’huile du côté gauche du manomètre et la colonne d’huile du côté droit.

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