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Vidéo de question : Utilisation des identités de Pythagore pour calculer des expressions trigonométriques Mathématiques

Déterminez la valeur de cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽, sachant que sin 𝛼 = 4/5 avec 𝛼 ∈ (𝜋/2, 𝜋) et que 5 cos 𝛽 − 3 = 0, avec 𝛽 ∈ (3𝜋/2, 2𝜋).

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur de cosinus 𝛼 cosinus 𝛽 plus sinus 𝛼 sinus 𝛽, sachant que sinus 𝛼 est égal à quatre sur cinq avec 𝛼 appartenant à l’intervalle ouvert 𝜋 sur deux à 𝜋, et que cinq cos 𝛽 moins trois est égal à zéro avec 𝛽 appartenant à l’intervalle ouvert trois 𝜋 sur deux à deux 𝜋.

On nous donne la valeur de sinus 𝛼 et une équation impliquant cosinus de 𝛽. Pour répondre à cette question, il apparaît clairement qu’il va falloir trouver cosinus de 𝛼 et sinus de 𝛽. Commençons par ce que nous savons à propos de sinus 𝛼. Commençons par le sinus de 𝛼. Pour trouver cosinus 𝛼, nous n’allons pas prendre la réciproque du sinus de chaque côté. À la place, nous allons voir que sinus 𝛼 égale quatre sur cinq peut se représenter à l’aide d’un triangle rectangle.

D’après la formule du sinus, nous savons que le sinus d’un angle donné est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. Ainsi, si nous traçons un triangle rectangle avec un angle 𝛼, le côté opposé mesure quatre unités et l’hypoténuse cinq unités. Nous remarquons qu’il s’agit d’un triplet de Pythagore. Nous savons que les nombres trois, quatre, cinq forment un triplet de Pythagore. Autrement dit, trois au carré plus quatre au carré égale cinq au carré. Ainsi, le côté adjacent à l’angle 𝛼 mesure trois unités.

Or, le cosinus de l’angle est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse, donc, dans ce même triangle, le cosinus de 𝛼 est égal à trois sur cinq. Cependant, il y a une information que nous n’avons pas encore utilisée. À savoir, que 𝛼 appartient à l’intervalle ouvert de 𝜋 sur deux à 𝜋 radians. Dans notre triangle, nous avons supposé que 𝛼 était un angle aigu. Ainsi, pour calculer la valeur exacte de cosinus de 𝛼 sachant que sinus de 𝛼 est égal à quatre sur cinq, utilisons un cercle trigonométrique.

Pour rappel, un cercle trigonométrique donne le signe d’un rapport trigonométrique selon le quadrant où se situe l’angle. Notre angle appartient à l’intervalle ouvert de 𝜋 sur deux à 𝜋 radians. Il se situe donc dans le deuxième quadrant. Dans ce quadrant, le sinus est positif, mais le cosinus ne l’est pas. Par conséquent, il est négatif. Nous obtenons donc que sinus de 𝛼 est égal à quatre sur cinq mais que cosinus de 𝛼 dans ce quadrant est égal à moins trois sur cinq.

Faisons de même avec les informations données sur cosinus de 𝛽. Nous allons d’abord manipuler l’équation en ajoutant trois de chaque côté, puis en divisant par cinq. Ainsi, nous trouvons que cosinus de 𝛽 est égal à trois sur cinq. Revenons donc au triangle précédent, cette fois en indiquant l’angle 𝛽 au lieu de 𝛼, nous avons ainsi le côté adjacent égal à trois et l’hypoténuse égale à cinq. Ainsi, le côté opposé dans ce triangle est encore de longueur quatre. Le sinus de 𝛽 est donc égal à quatre sur cinq dans ce triangle. Cependant, nous allons devoir utiliser le cercle trigonométrique.

Cette fois, l’angle appartient à l’intervalle ouvert de trois 𝜋 sur deux à deux 𝜋. Il s’agit du quatrième quadrant. Dans ce quadrant pour un angle entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋, le cosinus de cet angle est positif. Le sinus de l’angle est négatif. Ainsi, pour cosinus 𝛽 égale trois sur cinq, où 𝛽 appartient à l’intervalle ouvert trois 𝜋 sur deux à deux 𝜋, sinus de 𝛽 est égal à moins quatre sur cinq. Ainsi, cosinus de 𝛼 fois cosinus de 𝛽 égale moins trois sur cinq fois trois sur cinq. Sinus de 𝛼 fois sinus de 𝛽 égale quatre sur cinq fois moins quatre sur cinq.

Pour multiplier des fractions, nous multiplions simplement leurs numérateurs et nous multiplions leurs dénominateurs. Nous obtenons donc moins neuf sur vingt-cinq plus moins seize sur vingt-cinq. Bien sûr, puisque les dénominateurs sont égaux, nous pouvons simplement additionner ou soustraire leurs numérateurs. Nous obtenons donc moins 25 sur 25, ce qui est égal à moins un. Ainsi, sachant les informations données sur le sinus de 𝛼 et le cosinus de 𝛽, nous trouvons que cosinus de 𝛼 fois cosinus de 𝛽 plus sinus de 𝛼 fois sinus de 𝛽 est égal à moins un.

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