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Vidéo question :: Déterminer la mesure d’un angle inscrit en utilisant les propriétés des tangentes au cercle et des cordes égales Mathématiques • Troisième préparatoire

Trouvez 𝑚∠𝐸𝐷𝐶.

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Transcription de la vidéo

Trouvez la mesure de l’angle 𝐸𝐷𝐶.

Tout d’abord, nous identifions l’angle 𝐸𝐷𝐶 sur notre figure. Au début, la direction à prendre pour trouver la mesure de l’angle 𝐸𝐷𝐶 ne semble pas très évidente. Une bonne stratégie consiste simplement à annoter la figure avec les informations que nous connaissons déjà et à voir s’il nous vient une idée pour trouver la mesure de l’angle 𝐸𝐷𝐶. En remarquant que le segment 𝐸𝐶 et le segment 𝐵𝐶 ont la même longueur, nous en déduisons que le triangle 𝐸𝐵𝐶 est isocèle. Par conséquent, la mesure de l’angle 𝐶𝐸𝐵 est égale à la mesure de l’angle 𝐸𝐵𝐶.

Ensuite, nous remarquons que la demi-droite 𝐴𝐵 est une tangente au cercle en 𝐵 et que la demi-droite 𝐴𝐶 est une tangente au cercle au point 𝐶. Nous pouvons voir que la corde 𝐸𝐵 coupe la tangente au point 𝐵. De même, la corde 𝐸𝐶 coupe l’autre tangente au point 𝐶. À partir de cela, nous pouvons appliquer le théorème des segments alternés, qui nous dit que dans n’importe quel cercle, l’angle entre une corde et une tangente à l’une des extrémités de la corde est égal à l’angle dans le segment alterné. Cela signifie que la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐴 est égale à la mesure de l’angle 𝐶𝐸𝐵 et la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐴 est égale à la mesure de l’angle 𝐶𝐸𝐵.

Puisque nous savons que le triangle 𝐸𝐵𝐶 et le triangle 𝐴𝐵𝐶 partagent deux angles égaux, nous pouvons dire que ces deux triangles sont semblables, ce qui rend le troisième angle du triangle 𝐸𝐵𝐶 égal à 52 degrés. Puisque nous travaillons avec des triangles, nous savons que tous les angles intérieurs doivent faire 180 degrés. En posant les deux angles inconnus égaux à 𝑎, nous pouvons dire que deux 𝑎 plus 52 égalent 180, que deux 𝑎 est égal à 128 et enfin, que 𝑎 est égal à 64.

Nous avons maintenant rempli la figure au maximum. Pour avancer, nous devons jeter un œil aux arcs plutôt qu’aux angles. Notez que l’angle 𝐸𝐷𝐶 intercepte l’arc majeur 𝐸𝐶. D’après le théorème de l’angle inscrit, nous pouvons dire que la mesure d’un angle inscrit intercepté par un arc est la moitié de la mesure de cet arc.

Ainsi, si nous trouvons la mesure de l’arc majeur 𝐸𝐶, la moitié de celle-ci sera la mesure de l’angle 𝐸𝐷𝐶. L’arc majeur 𝐸𝐶 est composé de l’arc mineur 𝐸𝐵 et de l’arc mineur 𝐵𝐶. L’arc mineur 𝐸𝐵 est intercepté par l’angle 𝐸𝐶𝐵. Par conséquent, l’arc mineur 𝐸𝐵 va être égal à deux fois la mesure de l’angle 𝐸𝐶𝐵, deux fois 52 degrés, soit 104 degrés.

De même, l’arc mineur 𝐵𝐶 est intercepté par l’angle 𝐵𝐸𝐶. Par conséquent, cet arc mineur sera égal à deux fois l’angle qui mesure 64 degrés, soit 128 degrés. Pour trouver l’arc majeur 𝐸𝐶, nous devons additionner ces deux arcs plus petits. L’arc majeur 𝐸𝐶 est donc égal à 232 degrés. Comme nous l’avons déjà dit, la mesure de l’angle 𝐸𝐷𝐶 est égale à la moitié de la mesure de l’arc majeur 𝐸𝐶. La moitié de 232 degrés est égale à 116 degrés.

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