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Vidéo de question : Détermination du poids attaché à une extrémité d’une barre pour qu’il n’y ait pas de pression sur un de ses appuis Mathématiques

𝐴𝐵 est une barre uniforme de longueur 78 cm et pesant 155 N. La barre est au repos horizontalement sur deux supports, 𝐴 et 𝐶, où 𝐶 est à 13 cm de 𝐵. Déterminez le poids minimum 𝑤 pour être suspendu en 𝐵 pour qu’il n’y ait aucune pression en 𝐴, et déterminez la pression sur 𝐶 à cet instant.

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Transcription de vidéo

𝐴𝐵 est une barre uniforme de longueur 78 centimètres et poids 155 newtons. La barre est placée horizontalement sur deux supports, 𝐴 et 𝐶, où 𝐶 est à 13 centimètres de 𝐵. Déterminez le poids minimum 𝑤 suspendu à l’extrémité 𝐵 pour que la pression à l’extrémité 𝐴 soit nulle, et déterminez la pression sur 𝐶 à cet instant.

Le fait que la barre est au repos signifie qu’elle est en équilibre, ce qui signifie que deux conditions sont remplies pour les forces agissant sur la barre. Ces deux conditions sont, d’abord, que la force totale ou la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur la barre est nulle. Et la deuxième condition est que le moment total associé aux forces, c’est-à-dire la somme des moments de chaque force agissante sur la barre, est également nul par rapport à un point donné. Le moment de la force autour d’un point de référence est la valeur de la force multipliée par la distance au point de référence, tant que la ligne d’action de la force est perpendiculaire à la ligne qui connecte le point d’action de la force au point de référence. Eh bien, avec ces conditions, traçons un schéma pour organiser les informations que l’on a sur les forces qui agissent sur la barre et leurs points d’application.

Voici notre barre avec les deux supports 𝐴 et 𝐶. La longueur de la barre est 78 centimètres et la distance de 𝐶 à 𝐵 est 13 centimètres. Il y a également quatre forces agissant sur la barre. Il y a le poids de la barre, 155 newtons, qui agit au milieu de la barre, vers le bas, parce que 𝐴𝐵 est uniforme. Étant au centre, ce poids agit à 39 centimètres de chaque extrémité. Il y a aussi le poids supplémentaire 𝑤, qui est fixé au point 𝐵. Les deux autres forces agissant sur la barre sont les forces de réaction des deux supports.

La force combinée du poids de la barre et du poids à l’extrémité 𝐵 exerce une pression sur les appuis 𝐴 et 𝐶. La troisième loi de Newton garantit que lorsque la barre exerce une force de pression sur ces deux appuis, ceux-ci exercent une force de réaction sur la barre de même intensité mais dans le sens opposé. On va appeler ces deux forces 𝑅 indice 𝐴 et 𝑅 indice 𝐶 pour la réaction en 𝐴 et la réaction en 𝐶. On sait déjà deux choses importantes sur ces deux forces. Premièrement, on cherche la condition pour que la pression à l’extrémité 𝐴 soit nulle. Mais s’il n’y a pas de force de pression, il n’y a pas non plus de force de réaction. Donc on cherche la condition pour que 𝑅 indice 𝐴 soit nulle.

Deuxièmement, parce que la norme de la pression sur le support 𝐶 et l’intensité de la réaction 𝑅 indice 𝐶 sont les mêmes, si l’on détermine 𝑅 indice 𝐶, on peut déterminer la pression que l’on cherche. Très bien, vu que l’on a ces forces et ces distances, appliquons nos conditions d’équilibre pour calculer ce que l’on cherche. Commençons par la condition que la somme des moments de force est zéro. On commence avec cette condition puisque l’on peut exprimer un moment de force en tant que force multipliée par la distance ; si la distance entre la force et le point de référence est nulle, c’est-à-dire que la force agit au point de référence, elle ne contribue pas pour le moment.

Comme cela est vrai quelle que soit l’intensité de la force, si l’on choisit notre point de référence comme étant le point 𝐵 ou même l’autre point d’appui 𝐶, on élimine soit le poids inconnu, soit la réaction inconnue de notre calcul. En éliminant une grandeur inconnue du calcul, on peut calculer directement l’autre inconnue. Notez que comme il n’y a pas de force de réaction au point 𝐴, il ne contribue pas au moment total car l’intensité de la force est nulle.

Très bien, commençons par le point de référence au point 𝐵. Les forces avec lesquelles on doit travailler sont alors 𝑅 𝐶 agissant à 13 centimètres du point 𝐵 et le poids de la barre agissant à 39 centimètres. En outre, ces deux forces sont perpendiculaires à la barre, qui est le long de la ligne reliant la force au point de référence, et donc on peut utiliser la force fois la distance pour calculer les moments appropriés. Puisque la force de réaction pointe vers le haut et que le poids pointe vers le bas et que les deux sont à gauche du point de référence, cela signifie qu’ils ont des orientations opposées par rapport au point de référence. Donc, leurs moments ont des signes opposés.

Choisissons arbitrairement le moment de 𝑅 𝐶 autour de 𝐵 comme positif. Ensuite, l’on a 𝑅 𝐶 fois 13, le moment de 𝑅 𝐶 autour de 𝐵, moins 155 fois 39, le moment du poids de la barre autour de 𝐵, est égal à zéro. Si l’on divise les deux côtés par 13, on obtient 𝑅 𝐶 moins 155 fois trois est égale à zéro parce que 39 divisé par 13 est trois et zéro divisé par 13 est toujours égal à zéro. En ajoutant 155 fois trois aux deux côtés, on obtient que 𝑅 𝐶 est 155 fois trois ou 465 newtons. C’est exactement la pression que l’on cherche. Donc, la moitié de notre réponse est que la pression sur le support 𝐶 lorsque la barre est équilibrée comme décrit est de 465 newtons.

Il ne reste plus qu’à trouver le poids. On peut effectuer exactement le même type de calcul, mais cette fois avec le point de référence où l’appui 𝐶 rencontre la barre. Alternativement, puisque l’on connait la valeur pour 𝑅 𝐶, on peut utiliser la condition que la somme des forces est nulle pour calculer la seule inconnue restante, qui est le poids 𝑤. Quelle que soit la méthode que l’on choisit, on compte toujours sur le fait que la valeur de la force à l’extrémité 𝐴 est nulle, de sorte qu’elle ne fournit aucun moment ni aucune contribution à la force totale. Utilisons la condition pour la somme des forces, et on va effacer notre calcul précédent pour faire de la place pour ce nouveau.

Puisque toutes les forces qui nous intéressent sont parallèles, on additionne toutes les forces pointant dans un sens et soustrayons toutes les forces pointant dans le sens opposé. Cela nous donne 465, la valeur connue de 𝑅 𝐶, moins 155 moins 𝑤 est égal à zéro. 465 moins 155 est 310. Et en ajoutant 𝑤 des deux côtés nous donne que 𝑤 est 310, ce qui signifie que le poids agissant sur 𝐵 nécessaire pour équilibrer la barre comme décrit est de 310 newtons.

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