Vidéo : Racines réelles et complexes de polynômes

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment comprendre les relations entre le degré d’un polynôme, ses coefficients et ses racines et comment appliquer ces connaissances pour résoudre des problèmes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir les racines réelles et complexes des polynômes. Nous verrons que nous pouvons facilement dire combien de racines un polynôme donné a. Et nous verrons que dans le cas des polynômes à coefficients réels, si nous avons une racine complexe du polynôme, nous pouvons facilement en trouver une autre. Nous commencerons par le théorème fondamental de l’algèbre. Passons à l’énoncé de ce théorème.

Rappelons que le polynôme 𝑝 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus un n’a pas de racines réelles. Mais nous avons défini 𝑖 comme étant une racine non réelle de ce polynôme. 𝑝 de 𝑖 est 𝑖 au carré plus un et 𝑖 au carré est moins un. Donc 𝑝 de 𝑖 est nul. On voit aussi que ce moins 𝑖 est une racine. 𝑝 de moins 𝑖 est moins 𝑖 au carré plus un. Et en écrivant moins 𝑖 comme moins un fois 𝑖, nous pouvons réorganiser les facteurs pour obtenir moins un au carré fois 𝑖 au carré plus un. Moins un au carré est un et 𝑖 au carré est moins un et leur produit est moins un. Donc moins 𝑖 est aussi une racine.

Et après avoir trouvé les deux racines de l’expression quadratique 𝑥 au carré plus un, nous pouvons factoriser cette quadratique. Il est une constante 𝐴 fois 𝑥 moins 𝑖 fois moins 𝑥 moins 𝑖. 𝑥 moins moins 𝑖 est juste 𝑥 plus 𝑖. Et comme le coefficient de 𝑥 au carré dans la définition de 𝑝 de 𝑥 est égal à un, la valeur de 𝐴 est également égale à un. Et donc, nous n’avons pas besoin d’écrire cela explicitement. En écrivant 𝑝 de 𝑥 comme 𝑥 au carré plus un, nous voyons qu’en utilisant des nombres complexes, nous pouvons factoriser le polynôme quadratique 𝑥 au carré plus un en un produit de facteurs linéaires. Nous ne pouvions pas faire cela lorsque nous travaillions avec des chiffres réels.

Vous savez peut-être qu’en complétant le carré, vous pouvez trouver des racines à n’importe quel quadratique avec de vrais coefficients. Et donc, nous pouvons factoriser tout quadratique en l’écrivant comme le produit de facteurs linéaires avec peut-être aussi une multiplication constante. Le théorème fondamental de l’algèbre généralise largement ce fait. Il dit que chaque polynôme de degré 𝑛 — donc nous ne traitons pas seulement ici des quadratiques qui ont le degré deux — avec des coefficients complexes — donc les coefficients n’ont pas besoin d’être réels ; ils peuvent l’être, mais ils n’ont pas à le faire pour que le théorème s’applique — peuvent être factorisés en facteurs linéaires.

Il pourrait être utile d’utiliser certains symboles ici. Un polynôme de degré 𝑛 qui est quelque chose de la forme 𝑎 indice 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus 𝑎 indice 𝑛 moins une fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 un 𝑥 plus 𝑎 zéro, où nous exigeons que le coefficient de 𝑥 à la puissance 𝑛 — c’est-à-dire 𝑎 indice 𝑛 — ne soit pas égal à zéro ; sinon, son polynôme n’est pas vraiment de degré 𝑛 avec des coefficients complexes. Donc 𝑎 zéro, 𝑎 un, et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 𝑛 sont complexes. Il pourrait s’agir de vrais chiffres. Tout nombre réel est également un nombre complexe. Mais ils ne doivent pas l’être. Le théorème stipule qu’un tel polynôme peut être factorisé en facteurs linéaires.

Nous aimons généralement retirer un facteur 𝑎 𝑛 en premier. Il suffit donc de considérer le cas où le coefficient de 𝑥 à la puissance 𝑛 est un. Et puis, le coefficient de 𝑥 dans chacun de ces facteurs linéaires peut être un. Combien de ces facteurs linéaires existe-t-il ? J’ai laissé ce nombre 𝑚. Mais en multipliant tous les 𝑥 des parenthèses ensemble, nous nous attendons à obtenir un 𝑥 au terme 𝑛. Et donc, il devrait y avoir 𝑛 facteurs linéaires. Le nombre de facteurs linéaires que nous obtenons est le degré du polynôme 𝑛. Un quadratique a un degré deux. Et donc, nous nous attendons à deux facteurs linéaires, c’est ce que nous avons obtenu. Un cube en aurait trois, un quartique, etc.

Maintenant, nous espérons mieux comprendre ce que le théorème nous dit. Permettez-moi de remarquer que nous ne pouvions pas vraiment espérer de meilleur résultat. Nous ne pouvions pas nous attendre à prendre en compte davantage. Ce théorème signifie-t-il que 𝑝 de 𝑥 a 𝑛 racines ? Eh bien, dans un certain sens, non. On ne nous dit pas que les facteurs sont uniques. Donc 𝑥 moins 𝑟 un pourrait être le même que 𝑥 moins 𝑟 deux. En d’autres termes, 𝑟 un pourrait être égal à 𝑟 deux.

Par exemple, considérons le polynôme quartique 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins deux fois 𝑥 plus trois. Ce facteur de 𝑥 moins deux apparaît trois fois. Et donc, 𝑝 de 𝑥 n’a pas quatre racines distinctes comme on pourrait s’y attendre, mais seulement deux. La racine deux correspond aux facteurs 𝑥 moins deux et la racine moins trois correspond au facteur 𝑥 plus trois. Cependant, nous disons que la racine deux a une multiplicité trois parce que le facteur 𝑥 moins deux apparaît trois fois dans la factorisation de 𝑝 de 𝑥. Lorsque nous comptons les racines avec multiplicité, nous en comptons deux trois fois, un pour chacun de ces facteurs. Et nous disons que 𝑝 de 𝑥 a quatre racines lorsque ces racines sont comptées avec multiplicité. Trois de ces racines sont deux et l’autre racine est moins trois.

Cela conduit à une autre façon d’énoncer le théorème fondamental de l’algèbre. Un polynôme 𝑝 de 𝑥 de degré 𝑛 à coefficients complexes a, lorsqu’il est compté avec multiplicité, exactement 𝑛 racines. Ces 𝑛 racines proviennent des 𝑛 facteurs de 𝑝 de 𝑥. Et en comptant avec la multiplicité, cela ne nous dérange pas qu’ils ne soient pas tous distincts. Il y en a 𝑛 au total, y compris les répétitions. La preuve de ce théorème est assez difficile et sort donc du cadre de cette vidéo. Nous devrons donc prendre ce théorème tel quel en l’appliquant à un exemple.

Combien de racines possède le polynôme trois 𝑥 au carré moins une fois 𝑥 au cube plus quatre 𝑥 moins deux ?

Nous n’avons pas besoin de trouver les racines pour les compter. Nous pouvons utiliser à la place le théorème fondamental de l’algèbre. Ce théorème stipule qu’un polynôme 𝑝 de 𝑥 de degré 𝑛 avec des coefficients complexes a, lorsqu’il est compté avec multiplicité, exactement 𝑛 racines. Donc, en supposant que nous comptabilisons les racines avec multiplicité car on ne nous demande pas combien de racines distinctes le polynôme a, il nous suffit de trouver le degré de notre polynôme. Quel est ce degré ? En distribuant, nous constatons que la paire la plus élevée de 𝑥 est la paire 𝑥 à la puissance cinq. Et donc, le degré de ce polynôme est de cinq.

Nous aurions pu économiser du travail ici en remarquant que la paire de 𝑥 la plus élevée proviendrait du produit de la puissance la plus élevée de 𝑥 dans le premier ensemble de parenthèses et de la paire la plus élevée de 𝑥 dans le deuxième ensemble, car nous n’avions besoin que d’un seul terme pour déterminer le degré du polynôme. Et le théorème fondamental de l’algèbre nous dit qu’il y a donc cinq racines comptées avec multiplicité. Le nombre de racines est le même que le degré du polynôme. Voyons maintenant le théorème de la racine conjuguée.

Pour ce théorème, nous devons 𝑝 être un polynôme avec des coefficients réels. Si le nombre complexe 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont réels, est une racine de 𝑝, alors son conjugué 𝑧 -star est égal à 𝑎 moins 𝑏𝑖 est également une racine. Donc, si nous avons un polynôme avec des coefficients réels et une racine complexe de ce polynôme, alors nous pouvons immédiatement trouver une autre racine. C’est une racine donnée, un conjugué complexe. Une autre façon de le dire est que si 𝑝 de 𝑧 est nul, où 𝑝 est un polynôme à coefficients réels, alors 𝑝 de 𝑧 étoile est nul. Prouvons cela.

Nous prouvons d’abord un résultat plus général. Nous prouvons que 𝑝 évalué au conjugué de 𝑧 est un conjugué de 𝑝 de 𝑧. Nous prenons un polynôme arbitraire avec des coefficients réels et nous l’appelons 𝑝. Soit 𝑛 le degré de 𝑝 et 𝑎 zéro jusqu’à a 𝑛 son coefficient réel. Nous évaluons ce polynôme à l’étoile 𝑧, le conjugué complexe d’un certain nombre complexe 𝑧. Et maintenant, notre tâche est de réorganiser cela d’une manière ou d’une autre pour obtenir le conjugué complexe de 𝑝 de 𝑧. Espérons-le et écrivons ceci à la fin de notre dérivation dans la conviction que nous serons en mesure de le prouver. En utilisant la définition du polynôme 𝑝, nous pouvons l’évaluer en 𝑧 puis prendre le conjugué complexe. Nous écrivons ceci sur la droite ci-dessus et espérons nous rencontrer au milieu.

Le conjugué complexe d’une somme est la somme du conjugué complexe et le conjugué complexe d’un produit est le produit du conjugué complexe. Ces deux faits peuvent être prouvés. Maintenant, nous aimerions peut-être comparer ce que nous avons à la hausse avec ce que nous avons à la baisse. Une différence est que nous avons 𝑎 zéro au lieu de 𝑎 zéro étoile et 𝑎 un au lieu de 𝑎 une étoile et ainsi de suite. Mais ces coefficients sont tous des nombres réels. Et le conjugué complexe de tout nombre réel n’est que lui-même. On peut donc remplacer chaque coefficient réel par son conjugué complexe sans rien changer.

Avons-nous fini ? Nous sommes-nous rencontrés au milieu ? Eh bien, presque, nous avons le carré du conjugué de 𝑧 ici et le conjugué du carré de 𝑧 ici et de même la 𝑛 ième puissance du conjugué de 𝑧 ici et le conjugué du 𝑛 ième puissance de 𝑧 ici. Nous voulons échanger l’ordre dans lequel nous prenons la puissance et le conjugué. Et nous pouvons en fait le faire, bien que ce soit un peu plus difficile à prouver que l’autre fait que nous avons utilisé. Nous pouvons, par exemple, prouver ce fait en utilisant le théorème de Moivre. En appliquant ce fait, nous obtenons exactement la même expression sur le côté droit que nous avons travaillé vers le haut. Et donc, nous avons prouvé ce que nous voulions.

Maintenant, comment cela nous aide-t-il à prouver le théorème de la racine conjuguée ? Eh bien, dans le cas particulier où 𝑧 est une racine de 𝑝, nous pouvons appliquer le conjugué des deux côtés pour montrer que le conjugué de 𝑝 de 𝑧 est un conjugué de zéro. Et le conjugué de zéro est juste zéro. Et nous venons de prouver que le conjugué de 𝑝 de 𝑧 est 𝑝 du conjugué de 𝑧. Et donc, le conjugué de 𝑧 est aussi une racine. Cela prouve le théorème racine conjugué. Appliquons maintenant ce théorème.

Est-il possible qu’un polynôme à coefficients réels ait exactement trois racines non réelles ?

Soit 𝑧 l’une des racines non réelles de 𝑝. Le théorème de la racine conjuguée nous dit que le conjugué de 𝑧, 𝑧 étoile, sera également une racine de 𝑝. Et comme 𝑧 est non réel, 𝑧 l’étoile est également non réelle. Nous avons donc deux racines non réelles de 𝑝. Et le troisième ? Appelons cela 𝑤. Mais l’étoile 𝑤 doit également être une racine non réelle. Donc, si 𝑤 est distinct de 𝑧 et 𝑧 étoile, alors il y a quatre racines non réelles. Donc, si un polynôme à coefficients réels a trois racines non réelles distinctes, il doit également en avoir une quatrième. Il ne peut pas avoir exactement trois racines non réelles distinctes.

Mais qu’en est-il si 𝑤 est 𝑧 ou 𝑧 étoile ? Si 𝑤 est 𝑧 ou 𝑧 étoile, il n’y a pas un tel problème. Ce que nous pouvons faire, c’est écrire notre polynôme 𝑝 de 𝑥 comme le produit de ses facteurs 𝑥 moins 𝑧 et 𝑥 moins 𝑧 étoile et du polynôme 𝑞 de 𝑧. En distribuant, nous obtenons un facteur quadratique avec des coefficients réels car le coefficient moins 𝑧 plus 𝑧 étoile et 𝑧 fois 𝑧 étoile sont tous deux des nombres réels. Cela signifie que 𝑞 de 𝑥 doit également avoir des coefficients réels car c’est un quotient de deux polynômes à coefficients réels. Si 𝑝 de 𝑥 a exactement trois racines non réelles, alors 𝑞 de 𝑥 a exactement une racine non réelle. Et cela est impossible en raison du théorème racine conjugué. La réponse à notre question est donc non.

Rappelons que le discriminant de 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, souvent désigné par grand Δ. Lorsque nous travaillons avec des nombres réels, nous avons constaté qu’un quadratique avec discriminant supérieur à zéro a deux racines réelles distinctes, un quadratique avec zéro discriminant a une racine réelle répétée et un quadratique avec discriminant inférieur à zéro n’a pas de racines réelles. Mais travaillant dans les nombres complexes, le théorème fondamental de l’algèbre nous dit de toujours s’attendre à deux racines.

Il faut compter avec multiplicité pour en faire un cas où le discriminant est nul. Et lorsque le discriminant est inférieur à zéro car il n’y a pas de racines réelles, il doit y avoir deux racines complexes. Et le théorème des racines conjuguées nous dit que ces deux racines complexes sont des conjugués complexes. Faites attention ici. Le théorème de racine conjuguée n’est vrai que pour les polynômes à coefficients réels. Cette classification n’est valable que pour les quadratiques à coefficients réels.

Que dire des racines des cubiques à coefficients réels ? Le théorème fondamental de l’algèbre nous dit qu’il doit y avoir trois racines comptant avec multiplicité. Il se pourrait que ces trois racines soient réelles, qu’elles puissent être distinctes, une répétée ou, en fait, les trois racines puissent être identiques. Si nous avons une racine nominale, alors nous devons en avoir une seconde, le conjugué complexe de cette racine. Nous ne pouvons pas avoir exactement une racine non réelle et l’autre racine doit être réelle. Nous ne pouvons pas avoir exactement trois racines non réelles d’un polynôme avec des coefficients réels.

Voici quelques cubes factorisés. Vous pouvez vérifier qu’après distribution, ils ont de vrais coefficients. Ce sont les deux seules possibilités que ce soit trois vraies racines ou une paire complexe conjuguée de racines et une vraie racine. De cela, nous pouvons voir qu’un cube avec des coefficients réels a au moins une racine réelle. Et nous pouvons montrer de la même manière que tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle. Le concept d’un discriminant peut être généralisé des quadratiques aux cubiques et autres polynômes de degré supérieur. Mais les expressions impliquées sont assez compliquées et dépassent le cadre de cette vidéo. Voyons maintenant comment utiliser cette classification pour résoudre des équations cubiques.

Étant donné que 𝑖 est l’une des racines de l’équation 𝑥 cube moins cinq 𝑥 carré plus 𝑥 moins cinq est égal à zéro, trouvez les deux autres racines.

Le théorème des facteurs nous dit que 𝑥 moins 𝑖 est l’un des facteurs de ce polynôme. Et donc, nous pourrions diviser le côté gauche par ce facteur pour obtenir le quadratique 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, que nous pourrions ensuite résoudre. Mais nous pouvons nous faciliter les choses en utilisant le théorème de racine conjuguée qui nous dit que le conjugué complexe de 𝑖 doit également être une racine car nous avons affaire à un polynôme avec des coefficients réels. Et donc, 𝑥 plus 𝑖 à nouveau par le théorème des facteurs doit être un facteur de ce polynôme.

En multipliant les deux facteurs connus ensemble, nous obtenons 𝑥 au carré plus un. Et nous pouvons distribuer à nouveau. Et en comparant les coefficients, nous pouvons voir que 𝑚 est un et 𝑛 est moins cinq. Nous pouvons alors substituer ces valeurs, en factorisant notre cube comme 𝑥 moins une fois 𝑥 plus une fois 𝑥 moins cinq. N’oubliez pas que nous recherchons les racines de cette équation. Et nous pouvons simplement les lire à partir de la formule factorisée. Nous constatons qu’ils sont cinq, moins 𝑖 et 𝑖. Pour ce problème, le théorème racine conjugué nous a permis de gagner du temps, mais n’était pas essentiel.

Passons maintenant aux équations quartiques, où le théorème racine conjugué peut être essentiel.

Classons les racines des quartiques avec des coefficients réels. Une équation quartique a la forme 𝑎𝑥 aux quatre plus 𝑏𝑥 au cube plus 𝑐𝑥 au carré plus 𝑑𝑥 plus 𝑒 est égal à zéro. Et comme il a de vrais coefficients, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 et 𝑒 doivent être des nombres réels. Selon le théorème fondamental de l’algèbre, une quartique a quatre racines dans la multiplicité. Les quatre pourraient être réels. S’il y a une racine non réelle, il doit y avoir par le théorème de racine conjuguée une paire conjuguée complexe d’entre elles. Les deux autres racines peuvent être réelles ou elles-mêmes peuvent former une paire conjuguée complexe, pas nécessairement distincte de la première paire.

Notez que si un cube avec des coefficients réels doit avoir au moins une racine réelle, il n’en va pas de même pour les quartiques. Un polynôme à coefficients réels ne peut avoir au moins une racine réelle que si son degré est impair. Voyons maintenant un exemple de résolution d’une équation quartique étant donné l’une de ses racines.

Étant donné que deux plus 𝑖 racine trois est une racine de 𝑥 à la puissance quatre moins 12𝑥 au cube plus 55𝑥 au carré moins 120𝑥 plus 112 est égal à zéro, trouvez toutes les racines.

Nous avons une racine complexe d’un polynôme avec des coefficients réels. Et donc, par le théorème de racine conjuguée, son conjugué complexe deux moins 𝑖 racine trois est également une racine de cette équation. Nous avons alors trouvé deux racines. Mais comment trouvons-nous les deux autres ? Le théorème des facteurs nous donne deux facteurs linéaires de notre quartique à partir de ces deux racines. Que pouvons-nous dire sur le facteur restant ? Eh bien, il doit être quadratique pour que la répartition de notre côté droit donne une quartique comme à gauche. Et les racines de ce facteur quadratique inconnu sont les racines restantes de notre équation quartique. Commençons alors à trouver ce facteur quadratique.

Nous multiplions les deux facteurs linéaires ensemble pour obtenir un facteur quadratique connu. Il existe quelques identités qui réduisent le nombre de calculs requis. Maintenant, nous pouvons simplement diviser notre quartique par ce facteur quadratique connu pour trouver le facteur quadratique inconnu. Alternativement, nous pouvons répartir sur le côté droit en multipliant chaque terme dans le premier ensemble de parenthèses par chaque terme dans le deuxième ensemble, puis en collectant des termes similaires. On peut alors comparer les coefficients.

Par exemple, le coefficient de 𝑥 aux quatre nous indique que 𝑎 est un. Nous faisons la substitution et comparons ensuite les coefficients de 𝑥 au cube, constatant que 𝑏 moins quatre est moins 12. Et donc, 𝑏 est moins huit. Encore une fois, en faisant la substitution, nous comparons ensuite les coefficients de 𝑥 au carré, constatant que 𝑐 est 16. Et faire la substitution rend le côté droit égal à la gauche. Nous avons alors trouvé le facteur quadratique inconnu. C’est un 𝑥 carré moins huit 𝑥 plus 16. Et nous pouvons prendre en compte ceci comme 𝑥 moins quatre au carré. Il a répété la racine de quatre. Et donc, la quartique originale doit faire de même.

Après avoir pris en compte notre quartique, nous lisons les racines. Les racines sont quatre, racine répétée avec une multiplicité de deux ; deux plus 𝑖 racine trois, la racine complexe qui nous a été donnée ; et son complexe conjugué deux moins 𝑖 racine trois.

Voici les points clés que nous avons couverts dans cette vidéo. Le théorème fondamental de l’algèbre nous dit qu’un polynôme de degré 𝑛 aura, lorsqu’on compte les multiplicités, 𝑛 racines. Le théorème des racines conjuguées nous dit que les racines non réelles de polynômes à coefficients réels apparaissent dans des paires conjuguées complexes. À la suite de ces deux théorèmes, nous pouvons catégoriser la nature des racines des polynômes. Nous pouvons utiliser le théorème des racines conjuguées pour nous aider à résoudre des équations cubiques et quartiques avec des coefficients réels. Et tous les polynômes de degré impair avec des coefficients réels ont au moins une racine réelle.

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