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Vidéo de question : Déterminer les racines d’un nombre négatif en utilisant la forme trigonométrique des nombres complexes Mathématiques

Déterminez les racines quatrièmes de -1 en donnant vos réponses sous forme trigonométrique.

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Transcription de vidéo

Déterminez les racines quatrièmes de moins un en donnant vos réponses sous forme trigonométrique.

Dans cette question, on nous demande de déterminer les racines quatrièmes de moins un, cette question nous demande en fait de résoudre l’équation 𝑧 puissance quatre égale moins un. Alors, pour cela, nous pouvons utiliser le théorème de Moivre pour les racines. Mais avant ça, il faut écrire le nombre moins un sous forme trigonométrique ou polaire. La partie réelle du nombre moins un est moins un, et sa partie imaginaire est zéro. Donc, sur un diagramme d’Argand, il est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont moins un, zéro. Le module de ce nombre correspond à la longueur du segment qui relie ce point à l’origine. Nous pouvons donc, voir que c’est une unité. Et par conséquent, 𝑟 est égal à un.

L’argument correspond à la mesure de l’angle entre ce segment et l’axe réel positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous pouvons voir que c’est 𝜋 radians. Et donc, 𝜃, l’argument du nombre moins un, est égal à 𝜋. Sous forme trigonométrique ou polaire, le nombre moins un s’écrit un fois cosinus 𝜋 plus 𝑖 sinus 𝜋.

Et maintenant, nous pouvons utiliser le théorème de Moivre pour les racines. Ce théorème dit que pour un nombre complexe sous forme 𝑟 cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, les racines 𝑛-ièmes sont 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 fois cosinus 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛. Et 𝑘 prend des valeurs entières comprises entre zéro et 𝑛 moins un. Alors, nous cherchons les racines quatrièmes de moins un. Et donc, en appliquant le théorème de Moivre pour le module nous obtenons un nouveau module qui vaut un puissance un quart, ce qui vaut tout simplement un. Et appliquons le théorème de Moivre pour les racines au reste de notre expression, en utilisant 𝜃 égal à 𝜋. Et, bien sûr, comme nous cherchons les racines quatrièmes, 𝑛 est égale à quatre, et nous obtenons un fois cosinus 𝜋 plus deux 𝜋𝑘 sur quatre plus 𝑖 sinus 𝜋 plus deux 𝜋𝑘 sur quatre. Mais bien sûr, nous n’avons pas vraiment besoin d’inclure le un qui se trouve au début de l’expression.

Alors, comme 𝑛 est égal à quatre, nous allons choisir des valeurs de 𝑘 comprises entre zéro et quatre moins un, ce qui fait trois. Faisons un peu de place et remplaçons successivement chacune des valeurs de 𝑘 dans notre forme générale. Lorsque 𝑘 est égal à zéro, nous avons la racine cosinus 𝜋 plus zéro sur quatre plus 𝑖 sinus 𝜋 plus zéro sur quatre, ce qui se simplifie en cosinus 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus 𝜋 sur quatre. Ensuite, lorsque 𝑘 est égal à un, nous avons la racine cosinus 𝜋 plus deux 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus 𝜋 plus deux 𝜋 sur quatre. Et cela, nous donne bien sûr un argument de trois 𝜋 sur quatre. Ensuite, nous remplaçons 𝑘 par deux. Et nous obtenons 𝜋 plus deux 𝜋 fois deux, donc 𝜋 plus quatre 𝜋 sur quatre comme argument. Et donc, la troisième racine est cosinus cinq 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus cinq 𝜋 sur quatre.

Enfin, nous remplaçons 𝑘 par trois dans la forme générale des racines quatrièmes de moins un. Et nous obtenons cosinus sept 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus sept 𝜋 sur quatre. Et nous pourrions laisser le résultat sous cette forme, mais il est beaucoup plus courant de donner l’argument en fonction de l’argument principal. L’argument principal est la valeur unique de l’argument qui se trouve dans l’intervalle ouvert à gauche et fermé à droite moins 𝜋 𝜋. Et pour obtenir un argument dans cet intervalle, il faut simplement ajouter ou soustraire des multiples de deux 𝜋 à l’argument en question.

Donc pour une des racines, nous allons devoir soustraire deux 𝜋 de cinq 𝜋 sur quatre. Nous pourrions écrire deux 𝜋 comme huit 𝜋 sur quatre. Donc, nous obtenons cinq 𝜋 sur quatre moins huit 𝜋 sur quatre, ce qui fait moins trois 𝜋 sur quatre. Notons que cette valeur est maintenant dans l’intervalle de l’argument principal. De même, il faut soustraire deux 𝜋 de l’argument sept 𝜋 sur quatre, ce qui nous donne moins 𝜋 sur quatre. Et donc, nous réécrivons les expressions de 𝑧 indice trois et 𝑧 indice quatre comme indiqué.

Alors, l’ordre dans lequel nous définissons chacune des racines n’a pas vraiment d’importance. Et donc, pour faire correspondre les résultats dans cette question, nous allons échanger 𝑧 indice trois et 𝑧 indice quatre. Et voilà nous avons trouvé les racines quatrièmes de moins un. Il s’agit de cosinus 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus 𝜋 sur quatre, cosinus trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus trois 𝜋 sur quatre, cosinus moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus moins 𝜋 sur quatre et cosinus moins trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus moins trois 𝜋 sur quatre.

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