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Vidéo de question : Utilisation de déterminants pour calculer l’aire d’un parallélogramme Mathématiques

On considère un parallélogramme dans lequel (1 ; 3), (3 ; 0) et (−1 ; 2) sont trois de ses sommets. Complétez ce qui suit : L’aire de ce parallélogramme vaut _ unités carrées.

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Transcription de vidéo

On considère un parallélogramme dans lequel un, trois ; trois, zéro ; et moins un, deux sont trois de ses sommets. Complétez ce qui suit : L’aire de ce parallélogramme vaut combien d’unités carrées.

Dans cette question, on nous demande de déterminer l’aire d’un parallélogramme, où on nous donne les coordonnées de trois de ses sommets. Au début, cela peut sembler difficile car un parallélogramme a quatre sommets, et on ne nous donne que trois de ces sommets. Cependant, il existe en fait plusieurs façons de répondre à cette question. Par exemple, nous pourrions dessiner les trois points sur un diagramme, puis utiliser le fait que l’aire d’un parallélogramme est la base fois la hauteur. Et bien que cela fonctionne et nous donne la bonne réponse, nous allons plutôt utiliser deux méthodes différentes pour répondre à cette question en utilisant des déterminants.

Tout d’abord, nous pouvons rappeler la formule générale pour trouver l’aire d’un parallélogramme en utilisant des déterminants. Si on nous donne trois sommets d’un parallélogramme - disons 𝑥 indice un, 𝑦 indice un ; 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux ; et 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois - alors son aire est la valeur absolue du déterminant de la matrice trois fois trois 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, un, 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, un, 𝑥 indice trois , 𝑦 indice trois, un. Comme on nous donne les coordonnées de trois sommets de notre parallélogramme, nous pouvons utiliser cette formule pour déterminer son aire. Nous substituons les coordonnées des trois points dans la formule. L’aire est la valeur absolue du déterminant de la matrice trois fois trois : un, trois, un, trois, zéro, un, moins un, deux, un.

Et il convient de souligner ici que peu importe la façon dont nous nommons nos trois points. Nous pouvons les écrire dans n’importe quel ordre dans notre formule, car tout ce que cela fera est de changer le signe du déterminant. Et nous prenons la valeur absolue de ce déterminant, donc cela n’affecte pas l’aire. Maintenant, tout ce que nous devons faire est évaluer cette expression. Et pour ce faire, nous devons évaluer le déterminant d’une matrice trois fois trois. Et il y a plusieurs façons de le faire, et nous pouvons utiliser celle que nous préférons. Dans cette vidéo, nous allons développer la deuxième colonne, car elle contient zéro.

Avant de développer cela, nous devons déterminer les parités des trois termes du développement. Ce sera négatif, positif, puis négatif, où nous aurons un signe négatif lorsque le numéro de ligne plus le numéro de colonne est impair et un signe positif lorsque le numéro de ligne plus le numéro de colonne est pair. Nous sommes maintenant prêts à développer cette colonne. En développant le premier terme de cette colonne, nous obtenons moins trois multiplié par le déterminant de la matrice deux fois deux trois, un, moins un, un. Nous développerions ensuite le deuxième terme dans cette colonne. Cependant, il a un facteur de zéro, donc ce terme serait simplement égal à zéro.

Donc, au lieu de cela, nous allons passer au troisième terme. Nous obtenons moins deux multiplié par le déterminant de la matrice deux fois deux : un, un, trois, un. Et puis, n’oubliez pas que nous calculons une aire, nous devons donc prendre la valeur absolue de cette expression. Maintenant, il ne reste plus qu’à évaluer cette expression. Rappelez-vous, pour évaluer le déterminant d’une matrice deux fois deux, nous devons trouver une différence dans le produit des diagonales. Par exemple, le déterminant de trois, un, moins un, un est trois fois un moins une fois moins un, ce qui n’est que trois plus un. Et le déterminant de notre deuxième matrice est un moins trois.

Cela nous donne la valeur absolue de moins trois fois trois plus un moins deux fois un moins trois, ce qui se simplifie pour nous donner la valeur absolue de moins 12 plus quatre, qui est la valeur absolue de moins huit, que nous pouvons simplifier par huit.

Et cela suffit pour répondre à notre question. L’aire de ce parallélogramme sera de huit unités carrées. Cependant, il existe une deuxième méthode que nous pouvons utiliser pour évaluer cette aire en utilisant des déterminants. Au lieu de cela, nous aurions pu aussi rappeler que l’aire d’un parallélogramme avec un sommet à l’origine et deux autres sommets aux points 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑑 est donnée par la valeur absolue du déterminant de la matrice deux fois deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Et c’est un résultat assez utile. Il est beaucoup plus facile de calculer le déterminant d’une matrice deux fois deux. Cependant, nous avons besoin qu’un des sommets soit à l’origine. Et dans cette question, aucun des trois sommets qui nous sont donnés n’est à l’origine. Donc, au début, nous pourrions penser ne pas pouvoir appliquer cette propriété.

Cependant, nous savons que la translation d’un parallélogramme n’affectera pas son aire. En fait, effectuer la translation d’une figure n’affectera pas sa surface. Par conséquent, si nous regardons l’un des points, disons trois, zéro, nous pouvons voir que c’est trois unités à droite de l’origine. Cela signifie que si nous faisons une translation de tous les sommets de ce parallélogramme de trois unités à gauche, alors l’un des sommets sera à l’origine, et nous pourrons appliquer cette formule. Par conséquent, nous allons trouver l’aire de ce parallélogramme en translatant d’abord les sommets de trois unités à gauche. Premièrement, le point avec les coordonnées un, trois sera déplacé vers le point avec les coordonnées un moins trois, trois, que nous pouvons calculer comme moins deux, trois.

Ensuite, nous n’avons pas besoin d’effectuer cela au point trois, zéro puisque nous savons déjà que cela sera traduit à l’origine. Donc, à la place, translatons le troisième sommet qui nous est donné - le point moins un, deux - trois unités vers la gauche. Nous devons soustraire trois de sa coordonnée 𝑥. Cela nous donne le point moins quatre, deux. Maintenant, nous avons un parallélogramme avec un sommet à l’origine. Et nous connaissons deux de ses autres sommets, les points moins deux, trois et moins quatre, deux. Ce seront nos coordonnées 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑑 dans notre formule. Et comme dans notre formule précédente, il convient de souligner que nous pouvons nommer ces deux sommets dans l’ordre que nous voulons. Cela ne changera pas la valeur de l’aire. Et en fait, nous aurions pu également translater l’un de ces sommets à l’origine.

Dans ce cas, nous obtenons que l’aire est égale à la valeur absolue du déterminant de la matrice deux fois deux : moins deux, trois, moins quatre, deux. Maintenant, il ne reste plus qu’à évaluer cette expression. Pour évaluer le déterminant d’une matrice deux fois deux, nous calculons la différence des produits des diagonales. C’est moins deux fois deux moins trois fois moins quatre, soit moins quatre plus 12. Donc, cela simplifie pour nous donner la valeur absolue de moins quatre plus 12, ce qui est la valeur absolue de huit, qui est juste égale à huit, ce qui est conforme à notre réponse précédente. Par conséquent, nous avons pu montrer que si un parallélogramme a trois sommets aux points un, trois ; trois, zéro ; et moins un, deux, alors son aire est de huit unités carrées.

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