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Vidéo de question : Déterminer le quadrant associé à un nombre complexe donné sous forme algébrique Mathématiques

Dans quel quadrant du diagramme d’Argand se situe le nombre complexe 3 - 2𝑖 ?

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Transcription de vidéo

Dans quel quadrant du diagramme d’Argand se trouve le nombre complexe trois moins deux 𝑖 ?

Dans cette question, on nous donne le nombre complexe trois moins deux 𝑖, et on nous demande de déterminer dans quel quadrant du diagramme d’Argand se trouve ce nombre complexe. Pour cela, commençons par rappeler ce qu’est le diagramme d’Argand. Dans un diagramme d’Argand, nous traçons deux axes, un axe horizontal et un axe vertical. L’axe horizontal correspond à la partie réelle du nombre et l’axe vertical à la partie imaginaire du nombre. Donc chaque point du diagramme d’Argand possède une partie réelle et une partie imaginaire, qui dépend entièrement de ses coordonnées dans le repère. Et dans cette question, nous devons placer le point trois moins deux 𝑖 sur le diagramme d’Argand.

Donc pour cela, nous devons déterminer la partie réelle et la partie imaginaires de ce nombre. Cela peut se faire directement en considérant le nombre. Mais, il existe quelques notations utiles pour cela. Premièrement, nous pouvons représenter la partie réelle d’un nombre complexe en utilisant la notation suivante. Et la partie réelle du nombre complexe trois moins deux 𝑖 est égale à trois. En fait, pour tout nombre complexe donné sous forme algébrique, c’est-à-dire sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels, la partie réelle de ce nombre est toujours 𝑎. Alors à quoi cela correspond-il sur le diagramme d’Argand ? Eh bien, si la partie réelle de notre nombre complexe est égal à trois, alors sur le diagramme d’Argand, l’abscisse de ce point est égale à trois.

Il faut ensuite chercher la partie imaginaire de ce nombre. Nous la représentons avec cette notation suivante. Et cette fois-ci, la partie imaginaire d’un nombre complexe donné sous forme algébrique 𝑎 plus 𝑏𝑖 est simplement 𝑏. C’est simplement le coefficient de 𝑖. Dans ce cas, nous avons trois moins deux 𝑖, donc le coefficient de 𝑖 est égal à moins deux. Et si la partie imaginaire de notre nombre est égale à moins deux, cela signifie que l’ordonnée du point est égale à moins deux. Alors, nous pourrions simplement représenter le point trois moins deux 𝑖 sur le diagramme d’Argand. L’abscisse est trois et l’ordonnée est moins deux.

Mais rappelons-nous que, dans la question, on ne nous demande pas simplement de représenter ce point. On nous demande de déterminer dans quel quadrant du diagramme d’Argand se trouve le point. Et sur un diagramme d’Argand, les quadrants sont repérés de la même manière que sur un diagramme cartésien. Le premier quadrant est le quadrant où la partie réelle et la partie imaginaire sont positives. C’est le quadrant en haut à droite. Puis, nous numérotons les quadrants dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, parfois en chiffres romains. Dans les deux cas, nous pouvons voir que le nombre trois moins deux 𝑖 se trouve dans le quatrième quadrant.

Nous avons donc montré que si nous représentons le nombre complexe trois moins deux 𝑖 sur un diagramme d’Argand, il se trouve dans le quatrième quadrant.

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