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Vidéo de question : Calcul d’expressions logarithmiques en utilisant les lois des logarithmes Mathématiques

Trouvez la valeur de log₄ 1280 - 2 log₄ 2 - log₄ 5 sans calculatrice.

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Transcription de vidéo

Trouvez la valeur de logarithme de base quatre de 1280 moins deux fois logarithme de base quatre de deux moins logarithme de base quatre de cinq sans utiliser de calculatrice.

Nous écrivons donc à nouveau l’expression. Pour trouver la valeur de cette expression comme on nous le demande, nous allons la simplifier successivement. La première chose à voir c’est que nous pouvons simplifier ce terme : deux fois logarithme de base quatre de deux. Pour cela, nous utilisons la loi des logarithmes qui dit que 𝑛 fois logarithme de base 𝑏 de 𝑎 est égal à logarithme de base 𝑏 de 𝑎 à la puissance 𝑛. Et donc deux fois logarithme de base quatre de deux devient logarithme de base quatre de deux à la puissance deux.

En fait, ce que nous avons fait, c’est que nous avons déplacé le facteur contant, deux, devant le logarithme de base quatre de deux pour le mettre en puissance de deux dans le logarithme. Et bien sûr, deux puissance deux, ou deux au carré, c’est quatre. Et donc nous avons logarithme de base quatre de 1280 moins logarithme de base quatre de quatre moins logarithme de base quatre de cinq. Alors, les trois termes sont en fait des logarithmes ou des logarithmes de base quatre d’un nombre, et nous pouvons simplifier cela en utilisant une autre loi des logarithmes.

En général, logarithme de base 𝑏 de 𝑚 moins logarithme de base 𝑏 de 𝑛 est égale à logarithme de base 𝑏 de 𝑚 sur 𝑛. En appliquant cela, nous avons logarithme de base quatre de 1280 moins logarithme de base quatre de quatre égal à logarithme de base quatre de 1280 sur quatre. Et 1280 sur quatre, cela fait 320. Et donc notre expression devient logarithme de base quatre de 320 moins logarithme de base quatre de cinq.

Alors nous avons une autre différence de logarithmes de même base ; logarithme de base quatre de 320 moins logarithme base de quatre de cinq. Et vous imaginez sans doute la prochaine ligne à écrire. La loi à utiliser est que logarithme de base 𝑏 de 𝑚 moins logarithme de base 𝑏 de 𝑛 est égal à logarithme de base 𝑏 de 𝑚 sur 𝑛. Et nous obtenons donc logarithme de base quatre de 320 sur cinq. Ce qui fait logarithme de base quatre de 64.

C’est terminé ? Eh bien, pas tout à fait. Il se trouve que nous pouvons encore simplifier. En prenant 𝑥 égal à logarithme de base quatre de 64. La forme exponentielle de cette relation est quatre à la puissance 𝑥 égale 64. Pouvez-vous voir quelle est la valeur de 𝑥 ? Eh bien, nous savons que quatre à la puissance trois, ou quatre au cube, vaut 64. Et donc 𝑥 est égal à trois.

Nous écrivons donc que le résultat est trois. Cela peut sembler surprenant d’obtenir un résultat aussi simple à partir d’une expression aussi compliquée. Deux fois logarithme de base quatre de deux vaut un. Mais logarithme de base quatre de 1280 et logarithme de base quatre de cinq sont tous les deux des nombres irrationnels. Et les choses se sont donc bien arrangées pour obtenir un résultat aussi simple à la fin.

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