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Vidéo question :: Utiliser le théorème de Moivre pour exprimer sin 4𝑥 en fonction des puissances de sin 𝑥 et de cos 𝑥 Mathématiques • Troisième secondaire

Utilisez le théorème de Moivre pour exprimer sin 4𝜃 en fonction des puissances de sin 𝜃 et cos 𝜃.

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Transcription de la vidéo

Utilisez le théorème de Moivre pour exprimer sinus quatre thêta en fonction des puissances de sinus thêta et cosinus thêta.

On rappelle d'abord ce que nous dit le théorème de Moivre. Il stipule que 𝑒 puissance 𝑖 thêta égale cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta. Bien sûr, on cherche maintenant à exprimer sinus quatre thêta en fonction des puissances de sinus thêta et cosinus thêta. Alors, comment faire ? En multipliant simplement thêta par quatre, nous voyons que nous pouvons réécrire le théorème de Moivre comme suit : 𝑒 puissance quatre 𝑖 thêta égale cosinus quatre thêta plus 𝑖 sinus quatre thêta. Voilà un bon début, mais il nous reste 𝑒 puissance quatre 𝑖 thêta.

Nous allons donc revenir à l'expression originale, 𝑒 puissance 𝑖 thêta égale cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta, et on élève les deux côtés à la puissance quatre. Et on voit que 𝑒 puissance 𝑖 thêta le tout à la puissance quatre est en fait le même que 𝑒 puissance quatre 𝑖 thêta. Et cela signifie à son tour que cosinus quatre thêta plus 𝑖 sinus quatre thêta égale cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta puissance quatre. Et cela est génial car on peut maintenant utiliser la formule du binôme de Newton pour développer les parenthèses du côté droit. Cela signifie que 𝑎 plus 𝑏 puissance 𝑛 égale la somme de 𝑘 égale à zéro jusqu'à 𝑛 de 𝑘 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑘 fois 𝑏 puissance 𝑘.

Lorsque 𝑛 égale quatre, on obtient 𝑎 plus 𝑏 puissance quatre égale 𝑎 puissance quatre plus un parmi quatre 𝑎 au cube 𝑏 plus deux parmi quatre 𝑎 au carré 𝑏 au carré plus trois parmi quatre 𝑎 𝑏 au cube plus 𝑏 puissance quatre. En fait, un parmi quatre et trois parmi quatre font quatre, et deux parmi quatre égale six. Et donc, voici la formule que nous allons utiliser pour développer l’expression entre parenthèses. Le premier terme est cosinus thêta puissance quatre. Le second est quatre cosinus thêta au cube fois 𝑖 sinus thêta, bien que par convention nous devons écrire cela comme quatre 𝑖 cosinus au cube thêta sinus thêta.

On a alors six cosinus carré thêta 𝑖 sinus thêta au carré. Et comme on peut écrire 𝑖 sinus thêta au carré comme 𝑖 au carré sinus thêta au carré et que 𝑖 au carré est égal à moins un, tout ce terme devient moins six cosinus carré thêta sinus carré thêta. Quant à notre quatrième terme, il est égal à quatre cosinus thêta 𝑖 sinus thêta au cube. On écrit alors 𝑖 sinus thêta au cube comme 𝑖 au cube sinus cube thêta. On écrit alors 𝑖 au cube comme 𝑖 fois 𝑖 au carré. On a dit que le carré de 𝑖 est moins un, donc il s'agit simplement de moins 𝑖. C'est donc moins quatre 𝑖 cosinus thêta sinus cube thêta.

Notre dernier terme est 𝑖 sinus thêta puissance quatre. On développe les parenthèses et on obtient 𝑖 puissance quatre fois sinus thêta à la puissance quatre. Cependant, 𝑖 puissance quatre est 𝑖 au carré fois 𝑖 au carré qui est moins un fois moins un qui est simplement un. Cela veut dire que le dernier terme du développement de nos parenthèses cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta puissance quatre est sinus thêta puissance quatre. Pour revenir à la question, on veut exprimer sinus quatre thêta en termes de puissances de sinus thêta et cosinus thêta. Si on remarque dans le membre de gauche que sinus thêta est le coefficient de 𝑖, cela nous donne un bon indice de ce que nous allons faire ensuite. Nous allons égaliser les parties imaginaires des deux côtés de notre équation.

On vient de voir que la partie imaginaire du côté gauche, le coefficient de 𝑖, est sinus quatre thêta. Pour le côté droit, on a quatre cosinus au cube de thêta sinus thêta moins quatre cosinus thêta sinus au cube thêta. On peut donc dire que les coefficients de 𝑖 du côté gauche doivent être égaux au coefficient de 𝑖 du côté droit. Ce qui veut dire que sinus quatre thêta égale quatre cosinus au cube de thêta sinus thêta moins quatre cosinus thêta sinus au cube de thêta. Et voilà, on a fini. On a utilisé le théorème de Moivre pour exprimer sinus quatre thêta en termes de puissances de sinus et cosinus. C'est sinus quatre thêta égale quatre cosinus au cube de thêta sinus thêta moins quatre cosinus thêta sinus au cube de thêta.

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