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𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide régulière dont la base 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral dont la longueur du côté est de 32 centimètres. Si la longueur de son arête latérale est égale à 88 cm, alors calculez la hauteur de la pyramide au centième près.
Commençons par dessiner cette pyramide 𝑀𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral, onc tous ses côtés mesurent donc 32 centimètres. L'arête latérale est de 88 centimètres. Ainsi, par exemple, nous pouvons dire que la longueur de 𝑀𝐴 est de 88 centimètres. La hauteur de cette pyramide est la distance perpendiculaire entre le sommet 𝑀 et le centre de gravité de sa base. Observons que nous pouvons former ce triangle rectangle à l'intérieur de la pyramide. Nous essayons de calculer ℎ, la hauteur perpendiculaire. L'arête latérale mesure 88 centimètres. Ainsi, si nous pouvions déterminer cette longueur entre le sommet 𝐴 et le centre de gravité de la base, nous serions alors en mesure de calculer la valeur de ℎ. Réfléchissons donc comment calculer la distance entre 𝐴 et le centre de gravité.
Faisons un dessin en deux dimensions de la base de la pyramide, qui est le triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶. Notons 𝑥 centimètres la distance entre le sommet 𝐴 et le centre de gravité. Dans la base de la pyramide, elle est ici sur ce triangle équilatéral. Si nous prolongeons cette droite en rose, nous allons tracer la médiane du triangle équilatéral car le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des trois médianes du triangle. Ainsi, il y a deux choses à faire. Tout d'abord, il faut déterminer la longueur de la médiane, puis la longueur de 𝑥.
La première propriété que nous allons utiliser est que la médiane d'un triangle équilatéral est une bissectrice perpendiculaire. Cela veut dire que le segment 𝐵𝐶 est divisé en deux parties congrues et que la médiane et 𝐵𝐶 forment un angle droit. Ainsi, étant donné la longueur du côté de ce triangle équilatéral, nous avons suffisamment d'informations pour appliquer le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de la médiane. La longueur du côté du triangle équilatéral étant de 32 centimètres, 𝐴𝐵 est donc de 32 centimètres. La longueur de 𝐵 au milieu de 𝐵𝐶 est la moitié de 32 centimètres, soit 16 centimètres. Nous notons la longueur de 𝐴 au milieu de 𝐵𝐶 comme étant 𝑚 centimètres.
Le théorème de Pythagore stipule que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ainsi, dans ce triangle, nous avons les deux longueurs de côté de 16 centimètres et 𝑚 centimètres, qui peuvent être 𝑎 et 𝑏 et l'hypoténuse est de 32 centimètres. En substituant ces valeurs dans le théorème de Pythagore, nous obtenons 16 au carré plus 𝑚 au carré est égal à 32 au carré. En calculant ces carrés, nous obtenons 256 plus 𝑚 au carré est égal à 1024. En soustrayant 256, nous obtenons 𝑚 au carré est égal à 768. En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons que 𝑚 est égal à la racine carrée de 768. Nous laissons la racine carrée de 768 ou nous la simplifions encore davantage pour obtenir 16 racine de trois. Si nous convertissons cette valeur en nombre décimal, nous ne devons pas encore l'arrondir, car nous en aurons besoin dans les prochains calculs.
À présent, nous avons trouvé que la longueur de la médiane est 16 racine de trois centimètres. Il nous reste à calculer la distance 𝑥, qui est une proportion de la médiane. En fait, le théorème du centre de gravité qui nous donne cette proportion. Ce théorème nous dit que la distance de chaque sommet au centre de gravité est égale aux deux tiers de la longueur de la médiane depuis ce sommet. Nous avons donc ici que 𝑥 est égal à deux tiers de 16 racines de trois centimètres. Nous pouvons alors multiplier deux tiers et 16 racine de trois, ce qui nous donne 32 racine de trois centimètres sur trois. Finalement, nous obtenons que 𝑥 est égal à 32 racine trois centimètres sur trois.
Pour revenir à la pyramide, nous pouvons voir qu'à l'intérieur de cette pyramide, nous avons maintenant ce triangle rectangle dont nous connaissons deux longueurs et nous pouvons calculer la hauteur ℎ. Libérons un peu d'espace. Il serait utile de dessiner ce triangle depuis l'intérieur de la pyramide. Ainsi, nous avons ici le triangle avec une hypoténuse de 88 centimètres, la base de 32 racine de trois sur trois centimètres et le côté de longueur ℎ. Si nous appliquons le théorème de Pythagore, nous obtenons que ℎ au carré plus 32 racine de trois sur trois au carré est égal à 88 au carré. Lorsque nous élevons ces valeurs au carré, 32 racine de trois sur trois au carré donne, au numérateur, 32 au carré fois racine trois au carré, soit trois, sur trois au carré.
3072 sur neuf peut en fait être simplifié davantage en 1024 sur trois. 88 au carré donne 7744. Nous soustrayons 1024 sur trois des deux côtés, ce qui donne ℎ au carré est égal à 22208 sur trois. Nous prenons ensuite la racine carrée des deux côtés, ce qui nous donne ℎ est égal à la racine carrée de 22208 sur trois. À ce stade, nous vérifions alors comment nous devons donner la réponse. Puisqu’on nous demande la réponse au centième près, alors il faut trouver une approximation décimale. Cela donne 86,0387 etc en centimètres. Si nous arrondissons au centième près, notre réponse est que la hauteur de cette pyramide est de 86,04 centimètres au centième près.
