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Vidéo de la leçon : Puissances négatives

Nous expliquerons comment et pourquoi les puissances et exposants négatifs sont définis comme ils sont et démontrerons leur utilisation dans une série d’exemples.

11:50

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner les puissances négatives. Les puissances sont parfois appelés indices ou exposants selon l’endroit où vous vivez. Avec des puissances ou des exposants ou des indices, nous avons un nombre de base et nous avons un exposant. Et l’exposant nous dit combien de fois nous devons multiplier ce nombre, le nombre de base, par lui-même. Donc, trois à la puissance un signifie que nous n’en avons que trois. Trois carrés, trois à la puissance deux signifie que nous avons — nous écrivons trois fois, mettons un signe de multiplication entre les trois, puis nous avons trois fois trois. Trois à la puissance trois est égal à trois fois trois fois trois.

Nous pouvons donc évaluer la valeur de ces puissances. Trois à la puissance un n’est que trois. Trois à la puissance deux, trois fois trois font neuf. Trois à la puissance trois, trois fois trois fois trois font vingt-sept. Trois à la puissance quatre, trois fois trois fois trois fois trois font quatre-vingt-un. Vous devriez donc voir qu’à chaque fois que nous ajoutons un à la puissance, nous multiplions par la base une fois de plus. Donc trois à la puissance un est trois. Si nous ajoutons un à la puissance pour faire ces trois à la puissance deux, nous multiplions trois par trois pour faire neuf.

Faisons de même. Ajoutez un à la puissance pour en faire une puissance trois signifie que nous multiplions par trois. Encore une fois, neuf fois trois va nous donner vingt-sept. Une dernière fois, ajoutez un à la puissance, multipliez-le par trois pour nous donner quatre-vingt-un. Donc, ajouter un à la puissance revient à multiplier par la base une fois de plus.

Jetons donc un œil à l’inverse. Si je soustrais un des puissances, si je diminue la puissance quatre à trois en soustrayant un, que dois-je faire à quatre-vingt-un pour le transformer en vingt-sept ? Eh bien, je fais le contraire de multiplier par trois. Je divise par trois. Faisons de même. Pour réduire la puissance trois à deux, je retire un de la puissance. Je divise vingt-sept par trois, la base, pour obtenir neuf. Et puis une fois de plus, chaque fois que je soustrais un à la puissance, je prends mon expression évaluée et je la divise par la base une fois de plus. Donc, soustraire un de la puissance revient à diviser par la base une fois de plus. Voilà l’effet que nous avons. Utilisons donc ces informations pour aller plus loin.

Si nous avons commencé avec trois à la puissance un et soustrait un de cette puissance, nous allons obtenir trois à la puissance zéro. Maintenant, quelle valeur cela aura -t-il lorsque nous l’évaluerons ? Eh bien, parce que nous prenons l’expression précédente, trois, et nous allons diviser cela par trois, trois divisés par trois est égal à un. Donc, trois à la puissance zéro est un. Donc, si vous y réfléchissez, toute base à la puissance un a la même valeur que cette base. Donc trois à la puissance un est trois. Cinq à la puissance un serait cinq. Maintenant, si je retire un de ce puissance, un à zéro, je vais diviser par la base. Donc, tout ce qui a une puissance zéro n’est que la base divisée par lui-même, et quelque chose divisé par soi par lui-même en est un. Donc, tout ce qui a une puissance zéro est un. Eh bien, il y a une légère exception à cela. Zéro à la puissance zéro n’en est pas un, mais vous pouvez aller le chercher vous-même. Si vous voulez savoir quelle est la réponse, cela sera couvert ailleurs.

Bon, alors recommençons. Prenons la puissance zéro et soustrayons-en une. Eh bien, quelle est la réponse à trois à la puissance moins un ? Eh bien, je prends celui que nous avions avant, trois à la puissance zéro, et je vais le diviser par trois. Parce que j’ai réduit la puissance un, je vais diviser la réponse par trois. Et un divisé par trois, eh bien, la réponse simple est un sur trois, un troisième. Et répétons le cycle à nouveau. En soustrayant à nouveau un de la puissance, j’ai trois à la puissance moins deux.

Diviser par trois, eh bien, c’est un peu plus délicat. Donc, un tiers divisé par trois, eh bien, c’est la même chose qu’un tiers divisé par trois sur un. Parce que trois sur un, c’est la même chose que trois. Et pour évaluer cela, nous disons diviser des fractions aussi facilement que 𝜋. Retournez le second et multipliez. C’est donc un tiers divisé par trois, c’est la même chose qu’un troisième fois un tiers. Et une fois, on est un carré, ce qui n’est qu’un. Et trois fois trois font trois carrés, ce qui fait neuf. Donc, trois à la puissance moins deux est un sur trois au carré, ce qui est un sur neuf. Et puis une dernière fois, soustrayez à nouveau un de la puissance pour nous donner trois à la puissance moins trois. Et nous devons faire un neuvième divisé par trois. C’est donc un neuvième divisé par trois ou trois, c’est la même chose que trois sur un. La division des fractions est aussi simple que 𝜋. Retournez le second et multipliez. Un neuvième divisé par trois équivaut donc à un neuvième fois par tiers. Nous avons donc obtenu un sur neuf, soit un sur trois fois trois. Et multipliez cela par un sur trois, nous avons un cube sur trois. Et un sur trois au cube est un sur vingt-sept.

Jetons donc un coup d’œil à ce que nous avons fait là-bas. Ainsi, par exemple, trois à la puissance un était trois. Maintenant trois à la puissance moins un est un sur trois. Trois à la puissance deux c’est neuf ou trois carrés. Donc, trois à la puissance moins deux est un sur trois au carré ou un sur neuf. Trois à la puissance trois était de vingt-sept ou trois au cube. Et trois à la puissance moins trois est un sur trois au cube ou un sur vingt-sept. Il y a donc un modèle que nous pouvons utiliser. C’est la définition des puissances négatives.

Nous pouvons donc résumer alors. Les puissances négatives ne font pas d’inversion ou un sur, donc 𝑥 à la puissance moins 𝑛 est identique à un sur 𝑥 puissance 𝑛. Eh bien, jetons un coup d’œil à quelques exemples. Donc cinq à la puissance moins deux est un sur cinq à la puissance deux. Donc, ce signe moins ici nous a dit de retourner la base. Et puis nous gardons juste les deux ici. Et bien sûr, un carré sur cinq est le même qu’un carré sur le dessus et cinq carrés sur le bas. Et puis nous pouvons évaluer cela. Un carré est un. Cinq carrés, c’est vingt-cinq. Notre réponse est donc un sur vingt-cinq.

Considérons maintenant dix à la puissance moins cinq. Eh bien tout d’abord, nous allons inverser cette base et cela nous donne un sur dix. Et parce que nous avons fait le retournement, nous pouvons alors nous débarrasser du signe moins de la puissance. Et cela nous donne un à la puissance cinq sur dix à la puissance cinq. Et maintenant, nous allons évaluer le résultat. Un à la puissance cinq est un. Dix à la puissance cinq, c’est cent mille. Et ce sera notre réponse, un sur cent mille.

Considérons maintenant un cas où nous commençons avec une base qui est une fraction, donc les trois quarts à la puissance moins deux. Donc, d’une part, nous allons accord avec une puissance négative en renversant la base. Donc, inverser trois sur quatre fait quatre sur trois. Nous avons donc traité le signe moins du puissance, c’est donc quatre sur trois pour une puissance deux. Et rappelez-vous, quatre sur trois le tout à la puissance deux est quatre carrés sur trois carrés. Et lorsque nous évaluons cela, nous obtenons seize sur neuf.

Prenons alors un autre exemple : les deux tiers à la puissance moins quatre. Eh bien tout d’abord, nous allons retourner la base. Maintenant, cela concerne le signe moins du puissance, c’est donc trois sur deux à la puissance quatre. Et comme nous l’avons vu auparavant, trois sur deux le tout à la puissance quatre est trois à la puissance quatre sur deux à la puissance quatre. Et lorsque nous évaluons trois à la puissance quatre, trois fois trois fois trois fois trois font quatre-vingt-un. Deux à la puissance quatre, deux fois deux fois deux fois deux font seize, donc notre réponse est quatre-vingt-un sur seize.

Maintenant, vous pourriez également rencontrer des questions comme celle-ci : zéro virgule huit à la puissance moins trois. Maintenant, vous pouvez évidemment le faire comme un gros calcul : zéro virgule huit fois zéro virgule huit fois zéro virgule huit. Mais assez souvent, il existe un moyen plus simple et plus simple de le faire. Donc, nous allons d’abord convertir que rien huit points en une fraction. Donc, ce format de l’expression, huit sur dix, est le même que rien huit points, est équivalent aux expressions précédentes. Maintenant, j’ai déjà utilisé les numéros un et deux pour décrire les étapes. Donc, l’étape zéro, revenons à cela, consiste à convertir en une fraction, si vous avez commencé avec une décimale. Maintenant, en fait, nous pouvons simplifier cette fraction. Les huit dixièmes correspondent aux quatre cinquièmes. Et maintenant, nous avons la question dans ce format. Cela ressemble beaucoup à ce que nous venons de voir. Donc, tout d’abord, nous allons retourner la base. Nous avons donc traité le signe moins, il devient donc une puissance plus trois. Et nous avons inversé les quatre sur cinq pour en faire cinq sur quatre. Et rappelez-vous que cinq au cube sur quatre sont cinq au cube sur quatre au cube, nous pouvons donc évaluer cette expression. Et puis nous avons cinq au cube, c’est cent vingt-cinq. Quatre au cube, c’est soixante-quatre. Donc, un deux cinq sur soixante-quatre équivaut à zéro virgule huit à la puissance moins trois.

Donc, résumons simplement cela. 𝑥 à la puissance du moins 𝑦 signifie l’inverse de la base : un sur 𝑥 à la puissance du 𝑦. Donc, ce signe moins dans la puissance ne crée pas de réponse négative. Ce qu’il fait, c’est nous dire de trouver l’inverse de la base. Nous divisons par la base une fois de plus. Et un sur 𝑥 tout à la puissance 𝑦 est le même que l’un sur la puissance 𝑦 sur 𝑥 à la puissance 𝑦.

Je vais donc vous laisser quelques exemples finaux : onze à la puissance moins deux. Tout d’abord, nous allons retourner la base. Ce signe moins dans la puissance nous dit de retourner la base, c’est donc un sur onze au carré. Un sur onze tout carré est cette chose ici, est un carré sur onze carrés. Et lorsque nous évaluons cela, nous obtenons notre réponse un sur cent vingt et un. Et si nous avons six sur sept à la puissance moins trois, tout d’abord, nous allons inverser cette base six sur sept devient sept sur six, parce que nous avons le signe moins ici à la puissance. Alors sept sur six le tout à la puissance trois est sept à la puissance trois sur six à la puissance trois, ce qui, lorsque nous évaluons que sept au cube est de trois cent quarante-trois. Six au cube, c’est deux cent seize. Et voici notre réponse.

Et enfin, regardons un exemple décimal. Donc, zéro virgule deux cinq à la puissance moins est deux où nous allons convertir en une fraction. Donc, un quart à la puissance moins deux, retournez le quart pour faire quatre sur un, donc ça va être quatre carrés sur un carré. Et quatre carrés, c’est seize, ce serait donc notre réponse.

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