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Vidéo de question : Applications des règles de dénombrement Mathématiques

De combien de façons peut-on ranger 11 livres sur une étagère ?

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Transcription de vidéo

De combien de façons peut-on ranger 11 livres sur une étagère ?

On nous demande de trouver le nombre d’ordres ou d’arrangements différents possibles pour placer 11 livres sur l’étagère. Imaginons qu’il y ait 11 places sur l’étagère. Réfléchissons au nombre de possibilités que nous avons pour chaque espace.

Pour la première place sur l’étagère, nous pouvons prendre n’importe lequel des 11 livres. Cependant, pour la deuxième place, nous avons déjà placé un des livres sur l’étagère, il n’y a donc plus que 10 possibilités pour la deuxième espace. Pour le troisième livre, nous avons déjà placé deux des 11 livres sur l’étagère, ce qui signifie qu’il nous reste maintenant 9 possibilités. C’est-à-dire, 11 moins deux livres possibles pour la troisième place.

Avec le même raisonnement, il y a huit possibilités pour le livre à mettre sur la quatrième place. Le nombre de possibilités pour le livre à mettre à chaque place continue de diminuer jusqu’à arriver à la dernière place de l’étagère, où il ne nous reste plus qu’un seul livre. Il n’y a donc plus de choix.

Pour déterminer le nombre de manière dont les 11 livres peuvent être rangés, il faut multiplier le nombre de possibilités que nous avons pour chaque place sur la bibliothèque, car chacune de ces possibilités peut être combinée avec n’importe laquelle des autres. Nous avons donc 11 fois 10 fois neuf fois huit, jusqu’à un.

Il existe un moyen d’écrire cela de manière plus simple. 11 fois 10 fois neuf fois huit fois sept fois six fois cinq fois quatre fois trois fois deux fois, peut s’écrire comme factorielle 11. Soit 11 suivi d’un point d’exclamation. Nous pouvons également parfois voir cette autre notation. La factorielle d’un entier correspond simplement au produit de tous les entiers de un à cet entier. Ainsi, 𝑛 factorielle est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux, jusqu’à un.

Il y a généralement une touche sur la calculatrice pour calculer les factorielles. Il s’agit soit d’un point d’exclamation, soit de l’autre notation, montrée ci-dessus. En calculant factorielle 11 sur la calculatrice, nous obtenons 39916800. Si vous n’avez pas de touche factorielle sur la calculatrice, vous pouvez simplement écrire le produit à la main.

Nous obtenons donc que le nombre de manière de ranger 11 livres sur une étagère est de 39916800.

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