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Vidéo de question : Déterminants et inversibilité Mathématiques

La matrice suivante est-elle inversible ? [3 ; 1 et −3 ; −1]

02:45

Transcription de vidéo

La matrice suivante est-elle inversible ? trois, un, moins trois, moins un

Donc, la première chose que nous devons examiner est, que signifie inversible? Eh bien, une matrice est dite inversible ou non singulière, ce qui est son autre nom, si elle a une inverse. Eh bien, ce que nous pouvons faire, c’est que nous pouvons utiliser le déterminant pour déterminer si une matrice est, en fait, inversible.

Alors, considérons si nous avions la matrice 𝐴 qui est 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Eh bien, nous avons une forme générale pour l’inverse de cette matrice, qui est un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 multiplié par la matrice 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎. Si nous avons la condition que 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 n’égale pas zéro. Et c’est parce que si 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 était égal à zéro, cela signifierait que un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 serait indéfini. Alors, comment cela va-t-il nous aider lorsque je mentionne le déterminant ?

Eh bien, nous savons que le déterminant de la matrice 𝐴 est égal au déterminant de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, qui est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Eh bien, si nous regardons en arrière, nous pouvons voir que c’est la même chose que le 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐, qui est sous le chiffre un. Et on nous dit aussi que pour l’inverse, 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 ne peut pas être égal à zéro. Nous pouvons donc supposer qu’une matrice doit être inversible si le déterminant de 𝐴 n’est pas égal à zéro. D’accord, super! Donc, maintenant nous savons quoi faire. Voyons si la matrice est, en fait, inversible.

Donc, la première chose à faire est de calculer le déterminant de la matrice trois, un, moins trois, moins un. Donc, tout d’abord, ce que nous allons faire, c’est multiplier notre 𝑎 par notre 𝑑, c’est donc le terme en haut à gauche par le terme en bas à droite, donc trois multiplié par moins un. Et puis, soustrayons un multiplié par moins trois. C’est le terme en haut à droite multiplié par le terme en bas à gauche. Donc, ce que nous allons obtenir, c’est moins trois moins moins trois. Eh bien, si vous soustrayez un négatif, alors il devient positif, de sorte que vous avez moins trois plus trois. Alors, nous obtenons un résultat de zéro.

Donc, ça va nous aider à déterminer si elle est inversible. On peut dire que la matrice trois, un, moins trois, moins un n’est pas inversible. Et c’est parce qu’elle singulière. Donc, par conséquent, elle n’a pas d’inverse. Et nous le savons parce que le déterminant de notre matrice est égal à zéro.

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