Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Analyse du mouvement de deux corps reliés par une poulie, avec un corps posé sur un plan incliné et l’autre suspendu verticalement Mathématiques

Un objet de 2,4 kg de masse repose sur un plan lisse incliné d'un angle de 30° par rapport à l'horizontale. L'objet est lié, par une corde légère inextensible passant sur une poulie lisse fixée au bord du plan, à un autre objet de 1,6 kg de masse pendu librement et verticalement au-dessous de la poulie. Lorsque le système a été libéré du repos, les deux corps étaient au même niveau horizontal. Puis, 10 secondes plus tard, la corde s'est cassée. Déterminez le temps nécessaire pour que le premier objet commence à bouger dans la direction opposée après que la corde s'est cassée. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

05:55

Transcription de vidéo

Un objet de 2,4 kilogrammes de masse repose sur un plan lisse incliné d'un angle de 30 degrés par rapport à l’horizontale. L'objet est lié, par une corde légère inextensible passant sur une poulie lisse fixée au bord du plan, à un autre objet de 1,6 kilogrammes de masse pendu librement et verticalement au-dessous de la poulie. Lorsque le système a été libéré du repos, les deux corps étaient au même niveau horizontal. Puis, 10 secondes plus tard, la corde s'est cassée. Déterminez le temps nécessaire pour que le premier objet commence à bouger dans la direction opposée après que la corde s'est cassée. On prendra 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Commençons par faire un schéma de la situation initiale. Nous avons un plan lisse incliné avec un angle de 30 degrés. Les deux corps ont des masses de 2,4 kilogrammes et 1,6 kilogrammes. Cela signifie qu’ils sont soumis à des forces verticales descendantes égales respectivement à 2,4𝑔 et 1,6𝑔, où l’accélération de la pesanteur est égale à 9,8 mètres par seconde au carrée. Nous avons une corde inextensible légère passant par une poulie lisse. Cela signifie que la tension le long de la corde sera égale. Cela signifie également que lorsqu’elle est libérée de la position de repos, l’accélération sera la même pour tout le système.

Pour commencer à résoudre ce problème, nous allons utiliser la deuxième loi de Newton, qui dit que la somme des forces est égale à la masse multipliée par l’accélération. Pour le corps A, nous allons l’appliquer parallèlement au plan. Et pour le corps B, nous allons l’appliquer verticalement. Comme le poids du corps A agit verticalement vers le bas, nous devons utiliser nos connaissances en trigonométrie dans les triangles rectangles pour déterminer les composantes de la force parallèle et perpendiculaire au plan. La composante parallèle au plan est égale à 2,4𝑔 multiplié par sinus de 30 degrés. Et la composante perpendiculaire au plan est égale à 2,4𝑔 multipliée par cosinus de 30 degrés.

Il y a deux forces agissant parallèlement au plan sur le corps A, la force de tension et la composante du poids, 2,4 𝑔 multipliée par sinus de 30. Lorsque le corps se déplace vers le haut du plan, la somme des forces est égale à 𝑇 moins 2,4𝑔 multiplié par sinus 30. Ceci est égal à 2,4𝑎. Nous savons que le sinus de 30 degrés est égal à un demi. Cela signifie que l’équation peut être réécrite comme 𝑇 moins 1,2𝑔 égal à 2,4𝑎. Nous appellerons celle-là l’équation une. Pour le corps B, nous allons appliquer cette équation verticalement. Comme le corps commence à se déplace vers le bas, nous allons considérer ce sens comme le sens positif. Cela signifie que la somme des forces est égale à 1,6𝑔 moins 𝑇. Ceci est égal à 1.6𝑎, et nous appellerons celle-là l’équation deux.

Nous allons maintenant libérer de la place pour pouvoir résoudre ces deux équations simultanées et calculer la valeur de l’accélération 𝑎. En ajoutant les équations une et deux, nous pouvons éliminer 𝑇. Il nous reste 0,4𝑔 égal à quatre 𝑎. Nous pouvons ensuite diviser les deux membres de cette équation par quatre. 0,1 multiplié par 9,8 est égal à 0,98. Cela signifie que l’accélération du système est de 0,98 mètre par seconde au carrée. On nous dit que 10 secondes plus tard, la corde se casse. Nous pouvons utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré, ou les équations du MRUA, pour calculer la vitesse des corps au point où la corde se casse. Les corps étaient initialement au repos. Ils accéléraient à 0,98 mètre par seconde carrée. Et la corde se casse après 10 secondes. Nous allons utiliser l’équation 𝑣 égale 𝑢 plus 𝑎𝑡.

En remplaçant par nos valeurs, nous avons 𝑣 égal à zéro plus 0,98 multiplié par 10. Cela fait 9,8. Donc, la vitesse des corps au point où la corde se casse est de 9,8 mètres par seconde. À ce point, le corps A se déplace toujours vers le haut du plan. Lorsque la corde casse, la tension sera égale à zéro. Cela signifie que le corps va commencer à ralentir. Il aura une accélération négative. Pour calculer cette accélération, nous allons utiliser l’équation une. Comme 𝑇 est égal à zéro, moins 1,2𝑔 est égal à 2,4𝑎. Cela signifie que 𝑎 est égal à moins 0,5𝑔. Nous divisons les deux membres de l’équation par 2,4. Cela nous donne une valeur de 𝑎 égale à moins 4,9 mètres par seconde au carré.

Nous voulons trouver le point où le corps a commencé à se déplacer dans la direction opposée. Cela va se produire immédiatement après que le corps devienne immobile. En utilisant les équations du mouvement une fois de plus, nous savons que 𝑢, la vitesse initiale, est de 9,8 mètres par seconde. La vitesse finale est égale à zéro mètre par seconde. Et l’accélération est égale à moins 4,9 mètres par seconde au carré. Cela signifie que le corps décélère à un taux de 4,9 mètres par seconde au carrée. Encore une fois, nous allons utiliser l’équation 𝑣 égale 𝑢 plus 𝑎𝑡. Zéro est égal à 9,8 plus moins 4,9 multiplié par 𝑡. En ajoutant 4,9𝑡 aux deux membres de l’équation, nous obtenons 4,9𝑡 égal à 9,8. Enfin, en divisant par 4,9, nous obtenons 𝑡 est égal à deux.

Le temps nécessaire au corps pour commencer à se déplacer dans la direction opposée après la rupture de la corde est de deux secondes. Cela correspond à un total de 12 secondes après la libération initiale du système.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.