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Vidéo de question : Exprimer un système d’équations sous la forme d’une équation matricielle Mathématiques

Exprimez le système d’équations suivant sous la forme matricielle : 2𝑎 - 3𝑏 = 4 ; −5𝑎 + 6𝑏 = −7.

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Transcription de vidéo

Exprimez le système d’équations suivant sous forme matricielle : deux 𝑎 moins trois 𝑏 égale quatre et moins cinq 𝑎 plus six 𝑏 égale moins sept.

Dans cette question, on nous donne un système de deux équations et on nous demande d’écrire ces équations sous la forme d’une équation matricielle. Pour ce faire, commençons par rappeler la forme standard d’une équation matricielle impliquant un système. C’est la forme 𝑀 fois 𝑋 égale 𝐴, où 𝑀, 𝑋 et 𝐴 sont des matrices. Dans ce cas, la matrice 𝑀 sera la matrice des coefficients. C’est la matrice des coefficients des variables de nos équations. Ensuite, notre matrice 𝑋 va être la matrice des variables. Dans ce cas, c’est 𝑎 et 𝑏. Enfin, la matrice 𝐴 est appelée matrice réponse ou solution. Ce sont les valeurs constantes qui répondent aux équations. Dans ce cas, cela fait quatre et moins sept.

Nous pouvons utiliser ceci pour écrire directement les équations simultanées sous la forme d’une équation matricielle. Nous commençons par écrire la matrice des coefficients, où il est important de garder les signes des coefficients de chacune des variables. Et il convient de souligner ici que chaque variable de nos équations nous donnera une colonne supplémentaire dans notre matrice de coefficients et chaque équation nous donnera une ligne différente. Et dans ce cas, il y a deux variables dans deux équations, nous aurons donc une matrice de coefficients deux fois deux. Dans ce cas, il s’agit de la matrice deux fois deux : deux, moins trois, moins cinq, six.

Ensuite, nous devons multiplier cela par la matrice 𝑋, qui est la matrice des variables. C’est 𝑎 et 𝑏. Et il est important de se rappeler que nous écrivons toujours cela comme une matrice colonne parce que nous devons multiplier cela à gauche par la matrice de coefficients pour générer nos équations. Par exemple, pour multiplier deux matrices ensemble, nous multiplions les entrées correspondantes dans les lignes de la première matrice avec la colonne de la deuxième matrice et les additionnons. Pour la première ligne de la première matrice et la première colonne de la deuxième matrice, nous obtiendrions deux 𝑎 moins trois 𝑏, qui est le membre de gauche de la première équation.

Avant de passer à notre matrice de réponses, il y a encore une chose à noter. Nous pouvons multiplier ces deux matrices ensemble, car la matrice de coefficients est une matrice deux fois deux et la matrice variable est une matrice deux fois un. Puisque le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième matrice, nous pouvons multiplier ces deux matrices ensemble. Et le résultat sera une matrice deux fois un. Et cela peut nous aider à nous souvenir ou à justifier que la matrice réponse sera également une matrice colonne. Chaque entrée de la matrice réponse ne sera que les réponses aux équations. C’est quatre et moins sept.

Cela nous donne alors l’équation matricielle suivante : la matrice deux fois deux : deux, moins trois, moins cinq, six multipliée par la matrice deux fois un 𝑎, 𝑏 est égale à la matrice deux fois un quatre, moins sept.

Et nous pouvons vérifier qu’il s’agit d’une équation matricielle valide pour les équations données en évaluant la multiplication matricielle. Nous avons déjà vu à quoi cela ressemble pour la première ligne de la première matrice. Utilisons donc plutôt la deuxième ligne de la première matrice. Nous devons multiplier moins cinq par 𝑎, puis nous devons l’ajouter à ce six multiplié par 𝑏. Et pour que les valeurs de 𝑎 et 𝑏 satisfassent cette équation, nous aurions besoin que cette expression soit égale à moins sept. Nous pouvons voir que c’est exactement la même chose que la deuxième équation. Moins cinq 𝑎 plus six 𝑏 doit être égal à moins sept.

Nous pourrions donc laisser notre réponse comme ceci. Cependant, il y a une propriété utile qui mérite d’être mentionnée. Nous savons que peu importe l’ordre dans lequel nous donnons nos équations. Donc, la même chose devrait être vraie pour notre équation matricielle. En particulier, l’ordre dans lequel nous avons répertorié les équations a déterminé l’ordre dans lequel nous avons donné les lignes de notre matrice de coefficients et l’ordre dans lequel nous avons donné les lignes de notre matrice réponse. Donc, si nous changeons les deux lignes de notre matrice de coefficients et les deux lignes de notre matrice réponse, nous obtenons une équation matricielle équivalente. Dans ce cas, il s’agit de la matrice deux fois deux moins cinq, six, deux, moins trois multiplié par la matrice deux fois un 𝑎, 𝑏 est égal à la matrice deux fois un moins sept, quatre.

Et il est important de réitérer ici que nous ne changeons pas les ordres de notre matrice de variables, car changer l’ordre de nos équations ne change pas l’ordre dans lequel les variables apparaissent. Cependant, nous pouvons utiliser cette idée pour générer d’autres équations matricielles équivalentes. Par exemple, au lieu de changer l’ordre de nos équations, nous pouvons plutôt changer l’ordre selon lequel les termes 𝑎 et 𝑏 apparaissent dans chacune des équations. Et cela aurait pour effet de commuter les colonnes de la matrice de coefficients et les lignes de la matrice de variables. Cependant, la matrice réponse resterait inchangée.

Et toutes ces équations matricielles sont équivalentes, et nous pourrions utiliser l’une d’elles comme réponse. Dans ce cas, nous dirons que nous pouvons réécrire le système d’équations qui nous a été donné dans la question sous la forme matricielle : la matrice deux fois deux moins cinq, six, deux, moins trois multipliée par la matrice deux fois un 𝑎, 𝑏 égale la matrice deux fois un : moins sept, quatre.

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