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Vidéo de question : Évaluation des déterminants 3 × 3 Mathématiques

Calculez | 1, −9, −6 et −8, 4, 1 et 2, −1, 9 |.

03:41

Transcription de vidéo

Calculez le déterminant de la matrice trois fois trois : un, moins neuf, moins six ; moins huit, quatre, un ; deux, moins un, neuf.

Maintenant, lorsque nous cherchons à évaluer un déterminant d’une matrice trois fois trois, ce que nous faisons c’est regarder la première ligne, et nous utilisons la première ligne comme coefficients. Et ce que nous faisons, c’est que nous les multiplions à leur tour par la sous-matrice, donc la sous-matrice deux fois deux qui se forme lorsque vous supprimez la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve cette valeur.

Il convient également de noter que nos coefficients doivent suivre un motif. Donc, notre première colonne est positive, donc le coefficient est multiplié par plus un. La deuxième colonne est négative, donc multipliée par moins un. Troisième colonne, positive. Donc, nous allons utiliser ceci dans une seconde quand nous y arriverons.

Donc, le premier coefficient que nous examinons est le terme supérieur gauche. Donc, c’est un parce qu’il est dans la première ligne. Et nous allons multiplier cela par le déterminant de cette sous-matrice, qui est formée, donc la sous-matrice deux fois deux qui se crée lorsque nous supprimons la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve le un. Donc, ça va nous donner un, multiplié par le déterminant de la sous-matrice deux fois deux : quatre, un, moins un, neuf.

Ensuite, nous allons avoir moins moins neuf. Et c’est parce que, comme nous l’avons dit, la deuxième colonne doit être négative. Et nous avons déjà moins neuf comme coefficient. Ensuite, multiplié par la sous-matrice deux fois deux, encore une fois, formée lorsque vous supprimez la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve le moins neuf. Donc, c’est le déterminant de la sous-matrice moins huit, un, deux, neuf. Ensuite, enfin, nous allons avoir moins six multiplié par le déterminant de la sous-matrice deux fois deux : moins huit, quatre, deux, moins un. Et le terme est resté égal à moins six parce que, comme nous l’avons dit, cette troisième colonne est positive. Ainsi, le signe reste le même.

Donc, maintenant, l’étape suivante consiste à savoir comment traiter le déterminant deux fois deux. Eh bien, pour trouver le déterminant deux fois deux, ce que nous faisons est que si nous avons le déterminant deux fois deux de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, on multiplie 𝑎 par 𝑑, donc on multiplie en diagonale, puis on soustrait 𝑏 multiplié par 𝑐. Donc, tout d’abord, nous allons avoir un multiplié par puis nous avons quatre multiplié par neuf moins un multiplié par moins un. Et puis, nous avons plus neuf multiplié par moins huit multiplié par neuf moins un multiplié par deux. Et nous obtenons cela parce que nous avions moins neuf. Et si nous soustrayons un négatif, il devient positif.

Et puis, enfin, vous avez moins six multiplié par moins huit multiplié par moins un moins quatre multiplié par deux. Donc, si nous évaluons cela, nous allons obtenir 37. Et c’est parce que nous avions eu un multiplié puis vous avez 36 moins moins un, qui est 36 plus un, ce qui donne 37. Ensuite, nous allons obtenir moins 666. Et c’est parce que nous avions neuf multiplié par moins 74. C’est parce que nous avions moins 72 moins deux, ce qui fait moins 74, ce qui nous donne moins 666.

Et puis, moins zéro. Et nous obtenons cela parce que nous avons moins huit multiplié par moins un, qui fait huit. Quatre multiplié par deux, soit huit. Huit moins huit, c’est zéro. Donc, cela nous donne une réponse finale de moins 629. Nous pouvons donc dire que si nous évaluons le déterminant de la matrice trois fois trois : un, moins neuf, moins six ; moins huit, quatre, un ; deux, moins un, neuf, alors le résultat est moins 629.

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