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Vidéo question :: Déterminer le nombre de façons d’organiser un ensemble donné de chiffres pour former un nombre à n chiffres avec des critères donnés Mathématiques • Troisième secondaire

Combien de nombres à trois chiffres strictement inférieurs à 900 et ne comportant pas de chiffres répétés peuvent être formés à l’aide des éléments de l’ensemble {7 ; 1 ; 9} ?

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Transcription de la vidéo

Combien de nombres à trois chiffres strictement inférieurs à 900 et ne comportant pas de chiffres répétés peuvent être formés à l’aide des éléments de l’ensemble sept, un, neuf ?

Il existe plusieurs façons de trouver ces nombres à trois chiffres. Tout d’abord, nous pourrions simplement écrire tous les nombres possibles. Comme le nombre doit être strictement inférieur à 900, nous savons que le premier chiffre, celui de la colonne des centaines, ne peut pas être neuf. Cela signifie que le premier chiffre doit être sept ou un. Commençons par le plus petit chiffre, un. Nous le plaçons dans la colonne des centaines. Et comme notre nombre ne peut avoir aucun chiffre répété, nous devons placer un sept et un neuf dans la colonne des dizaines et unités. Une façon de le faire nous donne le nombre 179. Nous pourrions également placer neuf et sept dans l’autre sens, en nous donnant 197. Ce sont les deux seuls nombres que nous pouvons créer en ayant un dans la colonne des centaines.

Répéter cette méthode en plaçant sept dans la colonne des centaines nous donne les nombres 719 et 791. Comme déjà mentionné, nous ne pouvons pas placer neuf dans la colonne des centaines. Et nous pouvons donc conclure que nous pouvons former quatre nombres à trois chiffres, tous strictement inférieurs à 900, sans chiffres répétés à partir de l’ensemble contenant les nombres sept, un et neuf.

Une autre méthode pour résoudre ce problème consiste à utiliser le principe multiplicatif du dénombrement. Cela indique que nous pouvons trouver le nombre d’issues possibles en combinant deux ou plusieurs évènements en multipliant le nombre d’issues possibles de chaque évènement ensemble. Dans ce cas, nos événements sont les nombres que nous choisissons ; ce sont nos trois chiffres. Puisque notre nombre doit être strictement inférieur à 900, son premier chiffre doit être un sept ou un. Cela signifie qu’il existe deux façons possibles de choisir ce premier chiffre. Ensuite, nous considérons le deuxième chiffre. Nous avons choisi un nombre de notre ensemble, ce qui signifie qu’il nous reste deux nombres. Donc, il y a deux façons de choisir un deuxième chiffre pour nous assurer que nous n’avons pas de chiffres répétés.

Enfin, nous passons au troisième chiffre. Comme nous avons choisi deux nombres de notre ensemble et que nous savons que nos chiffres ne peuvent pas se répéter, il n’y a qu’une seule façon de choisir ce troisième chiffre. Le principe multiplicatif dit que nous pouvons trouver le nombre de nombres à trois chiffres que nous pouvons obtenir en multipliant ces valeurs ensemble. C’est deux multiplié par deux multiplié par un, ce qui nous donne à nouveau une réponse de quatre. Il y a quatre nombres à trois chiffres strictement inférieurs à 900 et sans chiffres répétés qui peuvent être formés à l’aide des éléments de l’ensemble sept, un, neuf.

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